리만 곡면: 두 판 사이의 차이

'''리만 곡면'''은 복소 차원이 1차원인 [[복소다양체]]이다. 즉, 복소 구조가 주어진 2차원 [[미분다양체매끄러운 다양체]]이다.

이와 동등하게, 리만 곡면을 2차원 [[향 (다양체)|유향]] [[등각다양체]]({{lang|en|conformal manifold}})로 정의할 수 있다. '''등각 계량'''({{lang|en|conformal metric}})은 [[바일 변환]]에 대한 [[리만 다양체|리만 계량 텐서]]의 [[동치류]]이며, 등각다양체는 등각 계량을 갖춘 [[미분다양체매끄러운 다양체]]이다. 2차원에서, 향({{lang|en|orientation}})이 주어진 등각 구조는 복소 구조와 동형이다. 그러나 이 동형은 고차원에서는 성립하지 않는다.

모든 2차원 [[가향다양체|가향]] [[미분다양체매끄러운 다양체]]는 복소 구조를 가져 리만 곡면을 이룰 수 있고, 그 역도 성립한다. 예를 들어, [[뫼비우스의 띠]]나 2차원 실수 [[사영 공간]]은 가향하지 아니하므로 복소 구조를 가질 수 없지만, 2차원 [[원환면]]이나 [[구 (기하)|구]], [[평면]]은 복소 구조를 가진다.

주어진 2차원 미분다양체는매끄러운 다양체는 보통 여러가지의 복소 구조를 지닐 수 있다. 주어진 2차원 미분다양체가매끄러운 다양체가 가질 수 있는 복소 구조의 집합은 대수적인 구조를 지니고, 이를 '''[[모듈러스 공간]]'''({{lang|en|space of moduli}})이라고 한다. 예를 들어, [[원환면]]의 모듈러스 공간은 <math>\mathbb C/\operatorname{SL}(2,\mathbb Z)</math>이다. 종수가 <math>g>1</math>인 경우, 모듈러스 공간의 차원은 <math>3g-3</math>이다.