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3번째 줄: == 정의 == [[환 (수학)\|환]] <math>R</math> 위의 '''~~좌가군~~왼쪽 가군'''({{llang\|en\|left module}}) <math>(M,+,r\cdot_{r\in R})</math>은 다음과 같은 데이터로 주어지는 [[대수 구조]]이다. * <math>(M,+)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다. * [[함수]] <math>\cdot\colon R\times M\to M</math>는 다음 조건을 만족시킨다. 9번째 줄: ([[결합 법칙]]) <math>(rs)m=r(sm)\qquad\forall m\in M,\;r,s\in R</math> (항등원) <math>1_Rm=m\qquad\forall m\in M</math>. 여기서 <math>1_R\in R</math>은 <math>R</math>의 곱셈 항등원이다. <math>R</math> 위의 '''~~우가군~~오른쪽 가군'''은 그 반대환 <math>R^{\operatorname{op}}</math> 위의 ~~좌가군이다~~왼쪽 가군이다. 즉, 다음과 같은 데이터로 주어진다. * <math>(M,+)</math>는 [[아벨 군]]을 이룬다. * [[함수]] <math>\cdot\colon M\times R\to M</math>는 다음 조건을 만족시킨다. 20번째 줄: 함수 <math>f_r : M \to M</math>를 <math>f_r (x) = rx</math>라고 하면 위의 조건 1에 의하여 <math>M</math>에서 <math>M</math> 자신으로의 [[군 준동형]]이 되고, <math>f\colon R \rightarrow End(M)</math>을 <math>f(r)=f_r</math>라고 하면, 나머지 세 조건에 의해 [[환 준동형]]이 된다. 여기에서 <math>\operatorname{End}(M)</math>는 <math>M</math>의 [[자기준동형환]]이다. 따라서 가군은 아벨 군에 환이 [[군의 작용\|작용]]하는 것으로 볼 수 있으며, 이런 의미에서 보면 가군론은 군이 [[벡터 공간]]에 작용하는 경우를 다루는 [[군 표현론]]을 일반화한 것이다. ~~좌가군인~~왼쪽 가군인 동시에 ~~우가군이고~~오른쪽 가군이고, 왼쪽과 오른쪽에서 행해지는 연산이 서로 어울릴 경우 이를 [[~~양쪽가군~~양쪽 가군]]({{llang\|en\|bimodule}})이라 한다. <math>R</math>이 [[가환환]]일 때는 ~~좌가군과~~왼쪽 가군과 오른쪽 ~~우가군은~~가군은 아무 차이가 없으므로, 좌우 구분을 생략하고 그냥 단순히 '''<math>R</math>-가군'''이라고 한다. === 준동형 === 61번째 줄: === 범주론적 성질 === 환 <math>R</math>에 대하여, ~~좌가군의~~왼쪽 가군의 범주를 <math>R\text{-Mod}</math>, ~~우가군의~~오른쪽 가군의 범주를 <math>\text{Mod-}R</math>라고 한다. 이 경우, [[범주의 동치]] :<math>R^{\operatorname{op}}\text{-Mod}\simeq\text{Mod-}R</math> 가 존재한다. 만약 <math>R</math>가 가환환일 경우, 좌우 구분 없이 <math>\operatorname{Mod}_R</math>로 쓴다. 100번째 줄: '''[[단순 가군]]'''은 자명하지 않는 가군을 부분 가군으로 갖지 않는 가군이다. 이는 [[단순군]]이나 [[단순환]]과 유사한 개념이다. '''유한 생성 가군'''({{llang\|en\|finitely generated module}})은 유한 생성 집합을 갖는 가군이다. 즉, <Math>R</math> 위의 ~~좌가군~~왼쪽 가군 <math>M</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[유한 집합]] <math>B\subseteq M</math>이 존재한다면, <math>M</math>을 유한 생성 가군이라고 한다. * 임의의 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>m=\sum_{b\in B}f(b)b</math>인 함수 <math>f\colon B\to R</math>가 존재한다.

가군: 두 판 사이의 차이