아이디얼: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
<math>(R,+,\cdot)</math>가 [[유사환]]이고, <math>\mathfrak a\subset R</math>가 <math>R</math>의 (덧셈 [[아벨 군]]으로서의) [[부분군]]이라고 하자.
* 만약 <math>R\mathfrak a\subseteq\mathfrak a</math>일 경우, <math>\mathfrak a</math>가 R의 '''
* 만약 <math>\mathfrak aR\subseteq\mathfrak a</math>일 경우, <math>\mathfrak a</math>가 R의 '''
* 만약 <math>\mathfrak a</math>가 <math>R</math>의
즉,
<math>R</math>의
정의에 따라, 아이디얼은 [[유사환]] <math>R</math>의 부분 [[유사환]]을 이룬다. 만약 <math>R</math>가 [[환 (수학)|환]](곱셈 항등원을 갖춘 유사환)이라도, 일반적으로 <math>R</math>의 아이디얼은 곱셈 항등원을 갖추지 않으므로 유사환만을 이룬다. 환 <math>R</math>의 곱셈 항등원을 포함하는, 즉 부분환을 이루는 아이디얼은 <math>R</math> 전체밖에 없다.
== 아이디얼의 연산 ==
[[유사환]] <math>R</math>의 두 (
:<math>\mathfrak a+\mathfrak b=\{a+b\colon r\in\mathfrak a,\;s\in\mathfrak b\}</math>
:<math>\mathfrak a\mathfrak b=\{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n\colon a_1,\dots,a_n\in\mathfrak a;\;b_1,\dots,b_n\in\mathfrak b\;n=0,1,2,\dots\}</math>
21번째 줄:
다만, 아이디얼의 합집합은 일반적으로 아이디얼을 이루지 않는다.
일반적으로, (
:<math>\mathfrak a\cup\mathfrak b\subseteq\mathfrak a+\mathfrak b</math>
또한, 만약 <math>\mathfrak a</math>와 <math>\mathfrak b</math>가 양쪽 아이디얼이라면 다음이 성립한다.
:<math>\mathfrak a\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\cap\mathfrak b\subseteq\mathfrak a\cup\mathfrak b\subseteq\mathfrak a+\mathfrak b</math>
(
== 아이디얼의 종류 ==
45번째 줄:
* 모든 아이디얼은 0을 포함하며, 따라서 [[공집합]]이 아니다.
* [[정수환]] <math>\mathbb Z</math>의 아이디얼은 어떤 정수 a에 의해 생성되는 주 아이디얼뿐이다. 즉, 정수환은 [[주 아이디얼 정역]]이다. 이 성질의 따름정리는 다름 아닌 [[나눗셈 정리]]이다.
* [[환 (수학)|환]] R는
== 바깥 고리 ==
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