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=== 리 대수 ===
<math>\operatorname{SU}(n)</math>의 [[리 대수]] <math>\operatorname{su}(n)</math>은 <math>n^\times n</math> 반에르미트 행렬들로 구성된다. 특히, <math>\operatorname{su}(2-1)</math>개의는 연산자에[[파울리 의하여행렬]]로 생성되며, 다음과<math>\operatorname{su}(3)</math>는 같은[[겔만 교환자 관계를행렬]]로 만족시킨다생성된다.
:<math>\left [ \hat{O}_{ij} , \hat{O}_{kl} \right ] = \delta_{jk} \hat{O}_{il} - \delta_{il} \hat{O}_{kj}.</math>
또한, 다음과 같은 연산자
:<math>\hat{N} = \sum_{i=1}^n \hat{O}_{ii}</math>
은 다음과 같은 교환자 관계를 만족시킨다.
:<math>\left [ \hat{N}, \hat{O}_{ij} \right ] = 0</math>
== 성질 ==
:<math>G_2\supset\operatorname{SU}(3)</math>
낮은 차수의 특수 유니터리 군에 대하여, 다음과 같은 '''예외적 동형'''({{llang|en|exceptional isomorphism}})이 성립한다.
:<math> f_\operatorname{ 123SU} = (1 )\ ,cong1</math> ▼:<math>\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{Spin}(3)</math>
:<math>\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{SO}(3)</math>
:<math>\operatorname{PSU}(4)\cong\operatorname{PSO}(6)</math>
=== 예표현론 ===
<math>\operatorname{SU}(n)</math>의 유한 차원 연속 표현들은 [[영 타블로]]에 의하여 분류된다. 이 경우, '''정의 표현'''({{llang|en|defining representation}}) <math>\square</math>은 <math>n</math>차원 표현이며, 그 켤레 <math>\bar\square</math> 역시 <math>n</math>차원 표현이다. 또한, <math>n^2-1</math>차원 딸림 표현이 항상 존재한다.
=== SU(1) ===
SU(1)은 자명한 군으로, 1을 원소로 가진다.
<math>\operatorname{SU}(2)</math>의 표현들은 매우 간단하며, 반정수 <math>j\in\tfrac12\mathbb Z</math>에 의하여 분류된다. 이를 표현의 '''[[스핀]]'''이라고 한다. 표현들의 텐서곱의 분해는 [[클렙슈-고르단 계수]]에 의하여 정해진다.
=== SU(2) ===
SU(2)는 다음과 같은 성질을 만족하는 행렬이다.
<math> SU (2) = \left \{ \begin{pmatrix} \alpha&-\overline{\beta}\\ \beta&\overline{\alpha} \end{pmatrix}: \ \ \alpha,\beta\in\mathbf{C}, |\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1\right \}</math>
SU(2)는 절댓값이 1인 [[사원수]]의 [[동형사상]]이며, [[스핀 군|Spin(3)]]과 동형이다. 즉, [[특수직교군|SO(3)]]의 [[범피복 공간|범피복군]]이다.
==== 파울리 행렬 ====
{{본문|파울리 행렬}}
파울리 행렬은 다음과 같이 정의되며 SU(2)의 리 대수의 생성원이다.
:<math>
\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}
</math>
:<math>
\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}.
</math>
이 행렬들은 [[유니타리 행렬]]이며 [[에르미트 행렬]]이다.
=== SU(3) ===
SU(3)의 발생원 T는 다음과 같이 정의된다.
:<math>T_a = \frac{\lambda_a }{2}.\,</math>
<math>\lambda \,</math>는 [[겔만 행렬]]이며 SU(2) 군의 파울리 행렬과 대응된다.
:{| border="0" cellpadding="5" cellspacing="0"
|<math>\lambda_1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_2 = \begin{pmatrix} 0 & -i & 0 \\ i & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_3 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|-
|<math>\lambda_4 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_5 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -i \\ 0 & 0 & 0 \\ i & 0 & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_6 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}</math>
|-
|<math>\lambda_7 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -i \\ 0 & i & 0 \end{pmatrix}</math>
|<math>\lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}.</math>
|
|}
이들은 [[대각합]]이 0인 에르미트 행렬이다.
이들의 교환자 연산은 다음과 같다.
:<math>\left[T_a, T_b \right] = i \sum_{c=1}^8{f_{abc} T_c} \,</math>
''f''는 SU(3)의''구조 상수''이며 다음과 같이 정의된다.
▲:<math>f_{123} = 1 \,</math>
:<math>f_{147} = -f_{156} = f_{246} = f_{257} = f_{345} = -f_{367} = \frac{1}{2} \,</math>
:<math>f_{458} = f_{678} = \frac{\sqrt{3}}{2}, \,</math>
다른 <math>f_{abc}</math>는 a, b, c의 반교환 관계를 이용하여 구할 수 있다.
== 응용 ==
SU(n)은 [[입자물리학]] 의 [[표준 모형]]에서 쓰인다. SU(2)는 [[약전자기력]]에, SU(3)은 [[양자 색역학]]에 쓰인다.
== 바깥 고리 ==
* {{매스월드|id=SpecialUnitaryGroup|title=Special unitary group}}
* {{매스월드|id=ProjectiveSpecialUnitaryGroup|title=Projective special unitary group}}
* {{nlab|id=special unitary group|title=Special unitary group}}
* {{nlab|id=special unitary Lie algebra|title=Special unitary Lie algebra}}
[[분류:리 군]]
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