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직교군: 두 판 사이의 차이

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=== 유한체 위에서의 직교군 ===
<math>\mathbb F_q</math>가 표수가 2가 아닌 [[유한체]]라고 하자. 이 경우, 짝수비퇴화 차원에서대칭 [[이차이중 선형 형식]]은 정확히 두 개의 동형류가 있으며,있다. 홀수이들은 차원에서는'''+형'''과 한 개의 동형류가'''−형'''이라고 있으며불리며, 이에각각 대응하는다음과 직교군들은 <math>\operatorname O^\pm(2k;\mathbb F_q)</math> 및 <math>\operatorname O(2k+1;\mathbb F_q)</math>라고 쓴다같다.<ref name="Wilson">{{cite book | last=Wilson | first=Robert A. | title=The finite simple groups | zbl=1203.20012 | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=251 | location=London | publisher=Springer | isbn=978-1-84800-987-5 | 날짜=2009 | 언어고리=en }}</ref>{{rp|69–7558}}
:<math>f^+=\begin{cases}\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,1)&q\equiv1\pmod4\\
\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,\alpha),\;\nexists\beta\in\mathbb F_q\colon \alpha=\beta^2&q\equiv3\pmod4
\end{cases}</math>▼
</math>
:<math>f^-=\begin{cases}
\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,1)&q\equiv3\pmod4\\
\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,\alpha),\;\nexists\beta\in\mathbb F_q\colon \alpha=\beta^2&q\equiv1\pmod4
\end{cases}
</math>
만약 <math>q</math>가 [[소수 (수론)|소수]]인 경우, [[이차 상호 법칙]]에 따라서 <math>p\equiv1\pmod4</math>라는 조건은 &minus;1이 제곱수라는 조건, 즉 &minus;1이 [[제곱잉여]]라는 조건과 같다.
 
홀수 차원에서, 제곱수가 아닌 <math>\alpha\in\mathbb F_q</math>에 대하여 <math>f^+</math>와 <math>\alpha f^-</math>는 서로 동형이며, 따라서 이 경우 직교군 <math>\operatorname O(2k+1;\mathbb F_q)</math>은 유일하다. 반면 짝수 차원에서는 이것이 성립하지 않으며, <math>f^\pm</math>에 대응하는 직교군들은 각각 <math>\operatorname O^\pm(2k;\mathbb F_q)</math>라고 쓴다.<ref name="Wilson">{{cite book | last=Wilson | first=Robert A. | title=The finite simple groups | zbl=1203.20012 | series=Graduate Texts in Mathematics | volume=251 | location=London | publisher=Springer | isbn=978-1-84800-987-5 | 날짜=2009 | 언어고리=en }}</ref>{{rp|69–75}}
 
표수가 2가 아닌 유한체 <math>\mathbb F_q</math> (<math>q=p^k</math>, <math>p</math> [[소수 (수론)|소수]])의 직교군의 크기는 다음과 같다.<ref name="Wilson"/>{{rp|72, (3.30)–(3.32)}}
:<math>|\mathrm{operatorname O}(2n+1;\mathbb F_q)|=2q^n\prod_{i=0}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})</math>
:<math>|\mathrm{operatorname O}^+(2n;\mathbb F_q)|=\begin{cases}2(q^n-1)\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})&\exists x\in\mathbb F_q\colon x^2=-1\\</math>
:<math>|\operatorname O^-(2n;\mathbb F_q)|=2(q^n+(-1)^{n+1})\prod_{i=1}^{n-1}(q^{2n}-q^{2i})&\nexists x\in\mathbb F_q\colon x^2=-1\\</math>
▲\end{cases}</math>
만약 <math>q</math>가 소수인 경우 (<math>q=p</math>), &minus;1이 제곱수라는 조건은 &minus;1이 [[제곱잉여]]라는 조건이다. 이는 [[이차 상호 법칙]]에 따라서 <math>p\equiv1\pmod4</math>라는 조건과 동치이다.
 
=== 표수 2에서의 직교군 ===
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/직교군"