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6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 '''예외적 동형'''({{llang|en|exceptional isomorphism}})을 보인다.
:<math>\operatorname{O}(1)\cong\operatorname{Spin}(1)\mathbb Z/2</math>
:<math>\operatorname{SO}(1)\cong1</math>
:<math>\operatorname{SO}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(2)\cong\operatorname U(1)</math>
:<math>\operatorname{SO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)</math>
:<math>\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2)\cong\mathbb S^3</math>