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:<math>\pi_i(\operatorname O(n))\cong\pi_i(\operatorname O(n+1))</math>
이다.<ref name="Karoubi">{{서적 인용|제목=Handbook of K-theory. Volume 1|장=Bott periodicity in topological, algebraic and Hermitian K-theory|이름=Max|성=Karoubi|장url=http://www.math.illinois.edu/K-theory/handbook/1-111-138.pdf|url= http://k-theory.org/handbook/|doi=10.1007/978-3-540-27855-9_4|쪽=111–137|언어고리=en}}</ref>{{rp|112}} 즉, 직교군의 [[호모토피 군]]들은 안정화되며, 안정 호모토피 군들은 다음과 같다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|113}}
:<math>\pi_i(\operatorname O(n))=\begin{cases}0&i\cong2equiv2,4,5,6\pmod8\\
\mathbb Z/2&i\cong0equiv0,1\pmod8\\
\mathbb Z&i\cong3equiv3,7\pmod8
\end{cases}\qquad(i<n-1)</math>
이 주기성을 '''보트 주기성'''({{llang|en|Bott periodicity}})이라고 한다.
:<math>\operatorname O(\infty)=\varinjlim_n\operatorname O(n)</math>
무한 유니터리 군의 호모토피 군들은 유한 차원 유니터리 군의 안정 호모토피 군으로 주어진다.
:<math>\pi_i(\operatorname O(\infty))==\begin{cases}0&i\cong2equiv2,4,5,6\pmod8\\
\mathbb Z/2&i\cong0equiv0,1\pmod8\\
\mathbb Z&i\cong3equiv3,7\pmod8
\end{cases}</math>
이에 따라, 무한 직교군은 스스로의 8차 [[고리 공간]]과 [[호모토피 동치]]이다.<ref name="Karoubi"/>{{rp|112, Theorem 1}}