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\end{pmatrix}</math>
<math>\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)</math>의 [[바일 군]]은 [[반직접곱]]
:<math>\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^k\rtimes\operatorname{Sym}(k)</math>
이다. 여기서 <math>s\epsilon=(s_1\epsilon_1,\dots,s_k\epsilon_k)\in\{\pm 1\}^k</math>는
:<math>s\epsilon\colon \theta_i\mapsto s_i\epsilon_i\theta_i</math>
와 같이 작용하며, [[순열]] <math>\sigma\in\operatorname{Sym}(k)</math>는
:<math>\sigma\colon\theta_i\mapsto\theta_{\sigma(i)}</math>
와 같이 작용한다. 구체적으로, 바일 군에서 <math>(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k)\in\{\pm1\}^k</math>의 원소는 블록 대각 행렬
와 같이 작용한다.
:<math>\operatorname{diag}\left(M(\epsilon_1),\dots,M(\epsilon_k),\prod_{i=1}^k\epsilon_k\right)\in\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R)</math>
:<math>M(+1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\qquad M(-1)=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}</math>
이며, <math>\operatorname{Sym}(k)</math>의 원소는 2×2 단위 행렬 블록의 <math>2k\times 2k</math> [[순열 행렬]]에 <math>(2k+1,2k+1)</math>번째 성분 +1을 추가한 행렬이다.
 
<math>\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)</math>의 바일 군은 [[반직접곱]]
:<math>\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))\cong\{\pm 1\}^{k-1}\rtimes\operatorname{Sym}(k)</math>
이다. 포함 관계
:<math>\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R))<\operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k+1;\mathbb R))</math>
아래, 다음과 같은 군의 짧은 완전열이 존재한다.
:<math>1\to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \to \operatorname{Weyl}(\operatorname{SO}(2k;\mathbb R)) \xrightarrow\phi \{\pm1\} \to 1</math>
이며, <math>\phi</math>는 다음과 같다.
:<math>\phi\colon(\epsilon_1,\dots,\epsilon_k,\sigma)\mapsto\prod_{i=1}^k\epsilon_k\in\{\pm1\}</math>
 
=== 위상수학적 성질 ===