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6차원 이하의 직교군은 다음과 같은 '''예외적 동형'''({{llang|en|exceptional isomorphism}})을 보인다.
;1차원:
:<math>\operatorname{O}(1)\cong\operatorname{Spin}(1)\mathbb Z/2</math>
:<math>\operatorname{SO}(1)\cong1</math>
;2차원:
:<math>\operatorname{SO}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Spin}(2)\cong\operatorname U(1)\cong\mathbb S^1</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(1,1;\mathbb R)\cong\mathbb R</math>
;3차원:
:<math>\operatorname{SO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(3;\mathbb R)\cong\operatorname{PSU}(2)\cong\operatorname{PUSp}(2)\cong\mathbb{RP}^2</math>
:<math>\operatorname{Spin}(3)\cong\operatorname{SU}(2)\cong\operatorname{USp}(2)\cong\mathbb S^3</math>
:<math>\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(2,1;\mathbb R)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb R)</math>
:<math>\operatorname{Spin}^+(2,1)\cong\operatorname{SL}(2;\mathbb R)\cong\operatorname{Sp}(2;\mathbb R)</math>
;4차원:
:<math>\operatorname{SO}(4;\mathbb R)\cong\left(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\right)/(\mathbb Z/2)</math>
:<math>\operatorname{Spin}(4)\cong\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2)\cong\mathbb S^3\times\mathbb S^3</math>
:<math>\operatorname{PSO}(4;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\times\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(3,1;\mathbb R)\cong\operatorname{SO}(3;\mathbb C)\cong\operatorname{PGL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSL}(2;\mathbb C)\cong\operatorname{PSp}(2;\mathbb C)</math>
;5차원:
:<math>\operatorname{SO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PSO}(5;\mathbb R)\cong\operatorname{PUSp}(4)</math>
:<math>\operatorname{Spin}(5)\cong\operatorname{USp}(4)</math>
:<math>\operatorname{SO}^+(3,2;\mathbb R)\cong\operatorname{PSp}(4;\mathbb R)</math>
;6차원:
:<math>\operatorname{SO}(6)\cong\operatorname{SU}(4)/(\mathbb Z/2)</math>
:<math>\operatorname{PSO}(6)\cong\operatorname{PSU}(4)</math>