렙셰츠 다양체: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
<math>2n</math>차원 [[심플렉틱 다양체]] <math>(M,\omega)</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''강한 렙셰츠 다양체'''(強한Лефшец多樣體, {{llang|en|strong Lefschetz manifold}})라고 한다.
* 모든 <math>0\le i\le n</math>에 대하여, <math>[\omega]^
만약 위 조건이 <math>i=0,1</math>에 대하여 성립하는 경우, '''렙셰츠 다양체'''(Лефшец多樣體, {{llang|en|Lefschetz manifold}})라고 한다.
== 성질 ==
=== 베티 수 ===
강한 렙셰츠 다양체의 경우, 홀수 차수 베티 수는 항상 짝수이다. 이는 [[푸앵카레 쌍대성]] <math>\operatorname{PD}</math>를 사용하여
:<math>H^{n-k}(M;\mathbb R)\times H^{n-k}(M;\mathbb R)\to\mathbb R</math>
:<math>(\alpha,\beta)\mapsto \alpha\smile\operatorname{PD}([\omega]^k\smile\beta)</math>
를 정의하면, 이는 홀수 차수 코호몰로지에 비퇴화 반대칭 형식을 정의하기 때문이다.<ref>{{저널 인용|제목=On certain geometric and homotopy properties of closed symplectic manifolds|arxiv=math/0002071}}</ref>{{rp|6, Proof of Theorem 3.1}}
또한, 강한 렙셰츠 다양체의 경우 <math>[\omega]^i</math>가 벡터 공간의 동형이므로, <math>0\le k\le i</math>에 대하여,
:<math>[\omega]^k\smile\colon H^{n-i}\to H^{n+i-2k}</math>
는 [[단사 함수]]이어야 한다. 따라서, <math>2n</math>차원 렙셰츠 다양체의 짝수 차수 베티 수
:<math>b_0,b_2,\dots,b_{2k}\qquad(2k<n)</math>
및 홀수 차수 베티 수
:<math>b_1,b_3,\dots,b_{2k+1}\qquad(2k+1<n)</math>
는 각각 증가 수열을 이룬다.<ref>{{서적 인용|arxiv=1412.8499|장=An introduction to Hodge structures|이름=Sara Angela|성=Filippini|이름2=Helge|성2=Ruddat|이름3=Alan|성3=Thompson|제목= Calabi-Yau Varieties: Arithmetic, Geometry and Physics|총서=Fields Institute Communications|issn=1069-5265|출판사=Springer|언어고리=en}}</ref>{{rp|Corollary 3}}
=== 켈러 다양체와의 관계 ===
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