디리클레 함수: 두 판 사이의 차이
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'''디리클레 함수'''(Dirichlet 函數, {{llang|en|Dirichlet function}})는 [[실수]] 집합의 [[유리수]] 집합에 대한 [[지시 함수]]이다. 독일의 수학자 [[페터 구스타프 르죈 디리클레]]의 이름을 따서 명명하였다.<ref>Lejeune Dirichlet, P. G. (1829) "Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à répresenter une fonction arbitraire entre des limites donées" [주어진 극한 사이의 임의의 함수의 표현에 쓰이는 삼각급수의 수렴성에 대하여], ''Journal für reine und angewandte Mathematik'' [순수·응용 수학 잡지, 크렐레지라고도 불린다.], vol. 4, pages 157 - 169.</ref>
:<math>f(x)=
\begin{cases}
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==연속성==
디리클레 함수는 [[정의역]] <math>\mathbb{R}</math> 상의 모든 점에서 불연속이다. 이는 다음과 같이 보일 수 있다.
임의의 실수 <math>x</math>와 [[빠진 근방]] <math>N'=(x-\frac1n,x)\cup(x,x+\frac1n)</math>에 대하여, <math>N'</math>에 속하는 유리수 <math>q_n</math>과 무리수 <math>i_n</math>이 존재한다. 두 수열은 <math>x</math>로 수렴하며 <math>x</math>를 값으로 취하지 않는다. 또한 다음을 만족한다.
:<math>\lim_{n\to\infty}f(q_n)=1</math>
:<math>\lim_{n\to\infty}f(i_n)=0</math>
따라서 [[볼차노-바이어슈트라스 정리]]에 의해 <math>x</math>에서의 극한이 존재하지 않으므로, <math>x</math>에서 불연속이다.
==주기성==
유리수, 무리수에 유리수를 더하면 각각 유리수, 무리수이므로, 임의의 유리수 <math>q</math>에 대해 <math>f(x+q)=f(x)</math>가 성립한다. 따라서 디리클레 함수는 모든 유리수를 주기로 둔다.<ref>반대로 모든 무리수는 주기가 아니다.</ref>
==리만 적분==
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이다. 여기서 <math>\lambda</math>는 [[르베그 측도]]이다.
주의할 점은 <math>\lambda(I \cap \mathbb{R}\setminus\mathbb{Q})</math>가 무슨 값이 되더라도 0을 곱하면 결과가 0이 된다는 것이다.<ref>심지어 그 값이 무한대이어도 그러하다.</ref>
이에 따라 디리클레 함수의 임의의 구간 <math>I</math> 위의 르베그 적분은
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