범주 (수학): 두 판 사이의 차이
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'''범주''' <math>\mathcal C</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.
*'''대상'''(對象, {{llang|en|object}})들의 [[모임 (수학)|모임]] <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>. 이 모임의 원소를 <math>\mathcal C</math>의 대상이라고 한다.
* '''[[사상 (범주론)|사상]]'''(寫像, {{llang|en|morphism}})들의 모임 <math>\hom(\mathcal C)</math>. 임의의 두 대상 <math>a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, <math>a</math>를 [[정의역]]으로, <math>b</math>를 [[공역]]으로 하는 사상들의 모임을 <math>\hom(a,b)</math>라 한다. <math>f\in\hom(a,b)</math>에 대하여 <math>f\colon a\to b</math>로 쓰고,
* 임의의 세 대상 a, b, c에 대해, [[이항 연산]] <math>\hom(a,b)\times\hom(b,c)\to\hom(a,c)</math>. 이는
* 각 대상 <math>a\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여, 특별한 사상 <math>\operatorname{id}_a\in\hom(a,a)</math>. 이는 <math>a</math>의 '''항등사상'''({{llang|en|identity morphism}})이라고 한다.
이 데이터는 다음의 조건들을 만족시켜야 한다.
*([[결합 법칙]]) 임의의 대상 <math>a,b,c,d\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math> 및 사상 <math>a\xrightarrow fb\xrightarrow gc\xrightarrow hd</math>에 대하여, <math>h\circ(g\circ f)=(h\circ g)\circ f</math>
*(항등원) 임의의 대상 <math>a,b\in\operatorname{ob}(\mathcal C)</math> 및 사상 <math>f\colon a\to b</math>에 대하여, <math>\operatorname{id}_b\circ f=f\circ\operatorname{id}_a=f</math>
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=== 작은 범주 ===
범주 <math>\mathcal C</math>에 대하여, 다음을 정의한다.
* 만약 <math>\operatorname{ob}(\mathcal C)</math>와 <math>\hom(\mathcal C)</math>가 둘 다 [[집합]]인 경우
* 만약 임의의 <math>X,Y\in \operatorname{ob}(\mathcal C)</math>에 대하여 <math>\hom(X,Y)</math>가 [[집합]]인 경우
작은 범주가 아닌 범주를 '''큰 범주'''({{llang|en|large category}})라고 한다. [[집합]]과 [[함수]]의 범주를 비롯해, 수학에서 중요하게 쓰이는 대부분의 범주는 국소적으로 작은 범주이다.
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