계차수열: 두 판 사이의 차이
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'''계차수열'''(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 [[수열]]
:<math>1,4,9,16,\ldots,n^2,\ldots</math>
의 계차수열은
:<math>4-1,9-4,16-9,\ldots,(n+1)^2-n^2,\ldots</math>
즉
:<math>3,5,7,\ldots,2n+1,\ldots</math>
과 같다.
계차수열은 [[등차수열]], 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.
== 정의 ==
수열 <math>\{a_n\}</math>의 '''계차수열'''은 다음과 같은 수열 <math>\{\Delta a_n\}</math>이다.<ref name="WQ">{{저널 인용|저자=吴强|연도=2008|편집자=张飞羽|제목=阶差数列的几个性质及其应用|번역제목=계차수열의 몇가지 성질과 그 응용|언어=zh|저널=河西学院学报|호=2|총서=24|쪽=6–9}}</ref>
:<math>\Delta a_n=a_{n+1}-a_n</math>
또, <math>\{\Delta a_n\}</math>의 계차수열
:<math>\Delta(\Delta a_n)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n</math>
을 '''2-계차수열'''이라고 하고, <math>\{\Delta^2 a_n\}</math>으로 표기한다.
비슷하게 임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}-계차수열''' <math>\Delta^k a_n</math>을 정의할 수 있다.<ref name="WQ" />
:<math>\Delta^k a_n=\begin{cases}
a_n, & k=0 \\
\Delta(\Delta^{k-1}a_n)=\Delta^{k-1}a_{n+1}-\Delta^{k-1}a_n, & k\ge 1
\end{cases}</math>
위에서 알 수 있듯이, <math>a_n</math>의 0-계차수열은 자기 자신, 1-계차수열은 <math>\Delta a_n</math>이다.
== 예 ==
* 수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
* 수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 2-계차수열은 810, 8100, ...이다.
* [[피보나치 수열]] 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...(피보나치 수열 앞에 0을 붙인 것)이다.
* 주어진 수열 {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다.
* 등차수열 {{수학|''a'', ''a'' + ''d'', ''a''+ 2''d'', ...}}의 계차수열은 상수열 {{수학|''d'', ''d'', ''d'', ...}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|''c'', ''c'', ''c'', ...}}의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다.
== 성질 ==
수열 <math>\{a_n\}</math>과 그의 계차수열 <math>\{\Delta a_n\}</math>에 대하여, 다음의 관계가 성립한다.
:<math>a_n=a_1+\Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k</math>
즉, 수열은 초항과 1-계차수열에 의해 확정된다. 더 나아가, 수열은 0, 1, 2, ...-계차수열의 초항에 의해 다음과 같은 방식으로 확정된다.<ref name="WQ" />
:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
여기서 <math>{n-1\choose k}</math>는 <math>n-1</math>의 대상 중에서 <math>k</math> 개를 고른 [[조합수]]이다.
위에 적은 홀수열 1, 3, ...과 짝수열2, 4, ...처럼, 1-계차수열이 같더라도, 수열의 초항에 따라 다른 수열이 될 수 있다.
수열의 단조성은 계차수열과 연관있다.
* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은, 계차수열의 모든 항이 음이 아닌 실수인 것이다.
*:<math>\Delta a_n\ge 0</math>
* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, 계차수열의 모든 항이 양이 아닌 실수인 것이다.
*:<math>\Delta a_n\le 0</math><!--
== 고계등차수열 == -->
== 각주 ==
{{각주}}
[[분류:수열]]
[[분류:초등 수학]]
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