"계차수열"의 두 판 사이의 차이

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'''계차수열'''(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 [[수열]]이다. 예를 들어 수열 {{수학|1, 4, 9, 16, ... , ''n''<sup>2</sup>, ...}}의 계차수열은 {{수학|4 - 1, 9 - 4, 16 - 9, ... , (''n'' + 1)<sup>2</sup> - ''n''<sup>2</sup>, ...}}, 즉 {{수학|3, 5, 7, ... , 2''n'' + 1, ...}}과 같다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''}}}의 계차수열의 일반항은 {{수학|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a<sub>n</sub>''}}이다.
 
계차수열은 [[등차수열]], 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.
:<math>\Delta(\Delta a_n)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n</math>
 
을 '''2-계차수열이계차수열'''이라고 하고, <math>\{\Delta^2 a_n\}</math>으로 표기한다.
 
비슷하게 임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}-계차수열''' <math>\Delta^k a_n</math>을 정의할 수 있다.<ref name="WQ" />
 
:<math>\Delta^k a_n=\begin{cases}
\end{cases}</math>
 
위에서 알 수 있듯이, <math>a_n</math>의 0-계차수열은0계차수열은 자기 자신, 1-계차수열은일계차수열은 <math>\Delta a_n</math>이다.
 
== 예 ==
* 수열 1, 3, 5, 7, ...과 2, 4, 6, 8, ...의 계차수열은 모두 2, 2, 2, 2, ...이다.
* 수열 9, 99, 999, 9999, ...의 계차수열은 90, 900, 9000, ...이다. 2-계차수열은이계차수열은 810, 8100, ...이다.
* [[피보나치 수열]] 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...의 계차수열은 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...(피보나치 수열 앞에 0을 붙인 것)이다.
* 주어진 수열 {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다.
:<math>a_n=a_1+\Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k</math>
 
즉, 수열은 초항과 1-계차수열에일계차수열에 의해 확정된다. 더 나아가, 수열은 모든 계수(0, 1, 2, ...-)의 계차수열의 초항에 의해 다음과 같은 방식으로 확정된다.<ref name="WQ" />
 
:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
여기서 <math>{n-1\choose k}</math>는 <math>n-1</math>의 대상 중에서 <math>k</math> 개를 고른 [[조합수]]이다.
 
다만, 위에 적은 홀수열 1, 3, ...과 짝수열2, 4, ...처럼, 1-계차수열이일계차수열이 같더라도, 수열의 초항에초항이 따라다르면 다른 수열이 될 수 있다된다.
 
수열의 단조성은 계차수열과 연관있다.
* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은, 계차수열의<math>\Delta 모든a_n\ge 항이0</math>이 음이모든 아닌<math>n</math>에게 실수인성립하는 것이다.
* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, 계차수열의<math>\Delta 모든a_n\le 항이0</math>이 양이모든 아닌<math>n</math>에게 실수인성립하는 것이다.
*:<math>\Delta a_n\ge 0</math>
 
* 수열 <math>\{a_n\}</math>이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, 계차수열의 모든 항이 양이 아닌 실수인 것이다.
== 고계등차수열 == -->
*:<math>\Delta a_n\le 0</math><!--
'''{{수학|''k''}}계등차수열'''은, {{수학|''x''}}계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 {{수학|''x''}}가 {{수학|''k''}}인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.
== 고계등차수열 == -->
 
어떤 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''}}}이 {{수학|''k''}}계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 {{수학|''n''}}에 대한 [[다항식|{{수학|''k''}}차 다항식]]이라는 것이다.<ref name="WQ" />
 
== 각주 ==