반단순 리 대수: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
2번째 줄:
== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, '''단순 리 대수'''({{llang|en|simple Lie algebra}})라고 한다.<ref name="Knapp"/>{{rp|32}}
* <math>\mathfrak g</math>의 아이디얼은 <math>\{0\}</math>과 <math>\mathfrak g</math> 전체밖에 없다.
9번째 줄:
* (카르탕 반단순성 조건 {{llang|en|Cartan’s criterion for semisimplicity}}) <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]] <math>K(x,y)=\operatorname{tr}_K\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)</math>는 [[비퇴화 이차 형식]]이다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어고리=en}}</ref>{{rp|50, Theorem 1.45}}
* <math>\mathfrak g</math>의 아벨 아이디얼은 <math>\{0\}</math>밖에 없다.
* <math>\mathfrak g</math>의 가해({{llang|en|solvable}}) 아이디얼은 <math>\{0\}</math>밖에 없다. 즉, <math>\mathfrak g</math>의 근기({{llang|en|radical}})가 <math>\sqrt{\mathfrak g}=\{0\}</math>이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|32}}
'''반단순 리 군'''(半單純Lie群, {{llang|en|semisimple Lie group}})은 그 [[리 대수]]가 반단순 리 대수인 [[연결 공간|연결]] [[리 군]]이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|105}} 마찬가지로, '''단순 리 군'''(半單純Lie群, {{llang|en|semisimple Lie group}})은 그 [[리 대수]]가 단순 리 대수인 [[연결 공간|연결]] [[리 군]]이다.
== 분류 ==
복소수체 위의 (유한 차원) 단순 리 대수는 [[근계]] 또는 이에 대응하는 [[딘킨 도표]]로 분류되며, 이에 따라 <math>A_n</math>, <math>B_n</math>, <math>C_n</math>, <math>D_n</math>, [[E₆]], [[E₇]], [[E₈]], [[F₄]], [[G₂]]가 있다. 복소수체 위의 [[단일 연결]] 단순 리 군은 단순 리 대수와 일대일 대응하며, 단일 연결이 아닌 리 군은 그 [[범피복군]]의 [[군의 중심|중심]]의 부분군인 [[정규 부분군]]에 대한 몫군이다.
복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수 [[단순 리 군]]의 분류로부터 귀결된다. 임의의 표수 0의 [[대수적으로 닫힌 체]] 위의 반단순 리 대수의 분류는 이와 동일하다.▼
▲복소수체 위의 반단순 리 대수의 분류는 복소수
[[대수적으로 닫힌 체]]가 아닌 체 위의 반단순 리 대수 <math>\mathfrak g</math>의 경우, 우선 그 [[대수적 폐포]] <math>\bar K</math> 위의 대수 <math>\mathfrak g\otimes_K\bar K</math>를 분류한 뒤, 이를 <math>\bar K</math>에서 <math>K</math>로 제약시키는 방법을 분류하여야 한다. 실수체 <math>K=\mathbb R</math>의 경우 이는 '''실수 형식'''({{llang|en|real form}})이라고 한다.
| |||