반단순 리 대수: 두 판 사이의 차이
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== 정의 ==
체 <math>K</math> 위의 [[리 대수]] <math>\mathfrak g</math>가 다음 두 조건을 만족시킨다면, '''단순 리 대수'''({{llang|en|simple Lie algebra}})라고 한다.<ref name="Knapp"/>{{rp|32}}
* <math>\mathfrak g</math>의 아이디얼은 <math>\{0\}</math>과 <math>\mathfrak g</math> 전체밖에 없다.
* <math>\mathfrak g</math>는 [[아벨 리 대수]]가 아니다. 즉, <math>[x,y]\ne0</math>인 <math>x,y\in\mathfrak g</math>가 존재한다.
<math>K</math>의 [[체의 표수|표수]]가 0이라고 하고, <math>\mathfrak g</math>가 <math>K</math> 위의 유한 차원 [[리 대수]]라고 하자. 그렇다면 다음 조건들이 서로 [[동치]]이며, 이 조건을 만족시키는 리 대수를 '''반단순 리 대수'''라고 한다.
* <math>\mathfrak g</math>의 가해({{llang|en|solvable}}) 아이디얼은 <math>\{0\}</math>밖에 없다. 즉, <math>\mathfrak g</math>의 근기({{llang|en|radical}})가 <math>\sqrt{\mathfrak g}=\{0\}</math>이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|32}}▼
* <math>\mathfrak g</math>의 아벨 아이디얼은 <math>\{0\}</math>밖에 없다.▼
* <math>\mathfrak g</math>는 단순 리 대수들의 [[직합]]이다.
* (카르탕 반단순성 조건 {{llang|en|Cartan’s criterion for semisimplicity}}) <math>\mathfrak g</math>의 [[킬링 형식]] <math>K(x,y)=\operatorname{tr}_K\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)</math>는 [[비퇴화 이차 형식]]이다.<ref name="Knapp">{{서적 인용|last=Knapp|first=Anthony W.|title=Lie groups beyond an introduction|edition= 2판|총서=Progress in Mathematics |권=140|publisher=Birkhäuser|place= Boston|날짜= 2002|isbn=0-8176-4259-5 | zbl=1075.22501|mr=1920389 |url=https://www.springer.com/birkhauser/mathematics/book/978-0-8176-4259-4|언어고리=en}}</ref>{{rp|50, Theorem 1.45}}
▲* <math>\mathfrak g</math>의 아벨 아이디얼은 <math>\{0\}</math>밖에 없다.
▲* <math>\mathfrak g</math>의 가해({{llang|en|solvable}}) 아이디얼은 <math>\{0\}</math>밖에 없다. 즉, <math>\mathfrak g</math>의 근기({{llang|en|radical}})가 <math>\sqrt{\mathfrak g}=\{0\}</math>이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|32}}
'''반단순 리 군'''(半單純Lie群, {{llang|en|semisimple Lie group}})은 그 [[리 대수]]가 반단순 리 대수인 [[연결 공간|연결]] [[리 군]]이다.<ref name="Knapp"/>{{rp|105}} 마찬가지로, '''단순 리 군'''(半單純Lie群, {{llang|en|semisimple Lie group}})은 그 [[리 대수]]가 단순 리 대수인 [[연결 공간|연결]] [[리 군]]이다.
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