3차원 직교군: 두 판 사이의 차이
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즉, 단위 사원수 집합을 4차원 [[극좌표계]] <math>(r,\theta,\phi,\chi)</math>로 나타내었을 때, <math>\theta</math>는 극각에 해당한다..
이 경우, 사원수 <math>a+ib+jc+kd</math>와 <math>-a-ib-jc-kd</math>가 같은 직교 행렬에 대응하므로, 이는 2겹 피복임을 알 수 있다.
이는 사원수 곱셈으로서 다음과 같이 나타낼 수 있다. 4차원 벡터 <math>(t,x,y,z)</math>를 사원수 <math>v=t+ix+iy+iz</math>로 나타내자. 그렇다면, 4차원 회전 <math>\operatorname{SO}(4)\cong(\operatorname{SU}(2)\times\operatorname{SU}(2))/(\mathbb Z/2)</math>의 작용은 다음과 같이 생각할 수 있다. 각 <math>\operatorname{SU}(2)</math>의 원소를 단위 사원수 <math>q_1</math>, <math>q_2</math>로 나타낸다면, 4차원 회전은 다음과 같다.
:<math>v\mapsto q_1vq_2</math>
여기서 <math>\mathbb Z/2</math>에 대한 몫군을 취하는 것은 <math>(q_1,q_2)</math>와 <math>(-q_1,-q_2)</math>가 같은 작용을 갖기 때문이다.
3차원 공간의 회전은 이 [[군의 작용|작용]]에서, <math>t</math>축의 [[안정자군]]이다. <math>t</math>축이 고정될 조건은 <math>q_1q_2=1</math>인 것이며, 따라서 <math>q_1=q_2^{-1}=\bar q_2</math>이다. 즉, <math>\operatorname{SO}(3)\cong\operatorname{Sp}(1)/(\mathbb Z/2)</math>의 작용은 다음과 같다.
:<math>v\mapsto qv\bar q\qquad(q\in\mathbb H,\;\|q\|=1)</math>
여기서 <math>\mathbb Z/2</math>에 대한 몫군을 취하는 것은 <math>\pm q</math>가 같은 작용을 갖기 때문이다.
=== 리 대수 ===
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