위키백과

피복 공간: 두 판 사이의 차이

입체적으로 역사 찾아보기
← 이전 편집다음 편집 →
내용 삭제됨 내용 추가됨
시각위키텍스트
편집 요약 없음
편집 요약 없음
1번째 줄:
[[File:Covering space diagram.svg|thumb|right]]
[[위상수학]]에서, '''피복 공간'''(被覆空間, {{llang|en|covering space}}) 또는 '''덮개 공간'''은 어떤 공간을, 여러 겹의 "피복"을 이루며 둘러싸는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
 
== 정의 ==
'''피복 공간'''은 올이 [[이산 공간]]인 [[올다발]]이다. 구체적으로, [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>B</math>의 '''피복 공간''' <math>(E,F,\pi)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성된다.<ref name="Munkres">{{서적 인용|이름=James R.|성=Munkres|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=2판|출판사=Prentice Hall|날짜=2000|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page|zbl=0951.54001|mr=0464128|언어고리=en}}</ref>{{rp|336}}
X가 [[경로 연결 공간]], <math>Y</math>가 [[국소 경로 연결 공간]]이라 하고, [[연속 함수]] p:Y→X가 주어졌다 하자. 다음 조건을 만족하는 [[순서쌍]] (Y, p)를 X 상의 '''피복 공간'''이라 한다.<ref>James R. Munkres, ''Topology'', Prentice Hall, 2000</ref>{{rp|336}}
* <math>E</math>는 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]]이다.
* <math>\pi\colon E\to B</math>는 [[전사 함수|전사]] [[연속 함수]]이다.
* <math>F</math>는 [[집합]]이다. 여기에 [[이산 위상]]을 부여하여 [[이산 공간]]으로 생각할 수 있다.
이 데이터가 피복 공간을 이루려면, 임의의 <math>b\in B</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 [[열린 근방]] <math>U\ni b</math>가 존재하여야 한다.
* <math>\tilde U=\pi^{-1}(U)</math>에 [[부분 공간 위상]]을 주고, <math>F</math>에 [[이산 위상]]을 주면, [[위상 동형]] <math>\iota\colon U\times F\to\tilde U</math>가 존재하며, 또한 모든 <math>f\in F</math>에 대하여 <math>\pi|_{\iota(f\times U)}\colon\iota(f\times U)\to U</math> 역시 [[위상 동형]]이다.
 
이 경우, <math>\pi</math>를 '''피복 함수'''(被覆函數, {{llang|en|covering function}})라고 하며, <math>F</math>를 피복의 '''올'''({{llang|en|fiber}})이라고 한다. 위 조건을 만족시키는 근방을 '''피복 근방'''(被覆近傍, {{llang|en|covering neighborhood}})이라고 한다.
# p는 [[전사 함수]]이다.
# X의 임의 점 x에 대해 p<sup>−1</sup>(U)가 [[서로소]]인 [[열린집합]]들의 [[합집합]]이고 각 열린집합이 p에 의해 U와 [[위상동형]]이 되는 x의 근방 U가 존재한다.
 
올이 <math>F</math>인 피복 공간을 '''<math>|F|</math>겹 피복 공간'''({{llang|en|<math>|F|</math>-fold covering space}})이라고 한다. 여기서 <math>|F|</math>는 [[집합의 크기]]를 뜻한다.
이상의 정의에서 p를 '''피복 함수'''(covering function), x의 근방 U를 x의 '''피복 근방'''(covering neighborhood)이라 한다.
 
위상만약 공간 X의 피복공간 (Y, p)에 대해 Y가<math>E</math>가 [[단일 연결 공간]]일이라면, 때 이 피복공간을<math>(E,F,\pi)</math>를 '''범피복 공간'''(凡被覆空間, {{llang|en|universal covering space}}) 또는 '''전피복 공간'''이라 한다.▼
=== 범피복 공간 ===
 
▲위상 공간 X의 피복공간 (Y, p)에 대해 Y가 [[단일 연결 공간]]일 때 이 피복공간을 '''범피복 공간'''(凡被覆空間, {{llang|en|universal covering space}}) 또는 '''전피복 공간'''이라 한다.
피복 공간의 '''사상'''({{llang|en|morphism}})은 올다발 사상과 같다. 즉, <math>B</math> 위의 두 피복 공간 <math>(F,E,\pi)</math> 및 <math>(F',E',\pi')</math> 사이의 사상은 다음 그림을 가환하게 만드는 [[연속 함수]] <math>f\colon E\to E'</math>이다.
:<math>\begin{matrix}
E&\xrightarrow f&E'\\
{\scriptstyle\pi}\downarrow&&\downarrow\scriptstyle\pi'\\
B&\xrightarrow[\operatorname{id}]{}&B
\end{matrix}</math>
이에 따라, 주어진 위상 공간 <math>B</math> 위의 피복 공간들은 [[범주 (수학)|범주]] <math>\operatorname{TopCov}(B)</math>를 이룬다.
 
== 성질 ==
*피복 공간 <math>(YF, pE,B,\pi)가</math>의 X의사영 피복함수 공간일<math>\pi</math>는 경우 p는항상 [[열린 함수]]가 된다이다.
 
== 참고 문헌 ==
줄 31 ⟶ 43:
[[분류:대수적 위상수학]]
[[분류:호모토피 이론]]
[[분류:올다발]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/피복_공간"