2015년 9월 25일 (금) 12:35 판 편집 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글편집 요약 없음 ← 이전 편집		2015년 9월 25일 (금) 13:01 판 편집 편집 취소 Osteologia (토론 \| 기여) 점검 면제자, 장기인증된 사용자 39,111 편집 잔글편집 요약 없음 다음 편집 →
2번째 줄: == 정의 == [[체 (수학)\|체]] <math>K</math> 위의 유한 차원 [[벡터 공간]] <math>V</math> 위에 [[비퇴화 대칭쌍선형 형식\|비퇴화]] [[대칭 쌍선형 형식]] :<math>Q\colon V\times V\to V</math> 가 주어졌다고 하자. (만약 <math>K</math>의 [[체의 표수\|표수]]가 2가 아니라면, 이는 <math>V</math> 위의 [[이차 형식]]과 같다.) 그렇다면, '''직교군''' <math>\operatorname O(V,Q)</math>는 <math>V</math> 위의 가역 [[선형 변환]]들 가운데, <math>Q</math>를 보존하는 것들로 구성된 [[군 (수학)\|군]]이다. 10번째 줄: 만약 <math>V</math>가 <math>n</math>차원 벡터 공간이며, <math>Q</math>가 자명한 (양의 정부호) 이차 형식이라면, 이를 <math>\operatorname O(n;K)</math>로 쓴다. [[실수체]] <math>K=\mathbb R</math> 위에서는 [[비퇴화 이차쌍선형 ~~형식은~~형식]]은 [[계량 부호수]] <math>(p,q)</math>에 의하여 분류된다. 이 경우 직교군은 <math>\operatorname O(p,q;\mathbb R)</math>와 같이 쓴다. === 특수직교군 === 20번째 줄: '''특수직교군'''(特殊直交群, {{llang\|en\|special orthogonal group}}) <math>\operatorname{SO}(n;K)</math>는 딕슨 불변량의 [[핵 (수학)\|핵]]이다. :<math>\operatorname{SO}(n;K)=\ker D=\operatorname{O}(n;K)/(\mathbb Z/2\mathbb Z)</math>. 즉, 딕슨 불변량이 0인 ~~직교행렬의~~[[직교 행렬]]의 [[리 군]]이다. 만약 체의 [[환의 표수\|표수]]가 2가 아니라면, 이는 행렬식이 1인 직교행렬의 [[리 군]]이 된다. 따라서 특수직교군과 직교군은 다음과 같은 [[완전열\|짧은 완전열]]을 만족한다. :<math>1\to\mathbb Z/2\mathbb Z\to\operatorname{O}(n;K)\to\operatorname{SO}(n;K)\to1</math>. 239번째 줄: === 유한체 위에서의 직교군 === <math>\mathbb F_q</math>가 표수가 2가 아닌 [[유한체]]라고 하자. 이 경우, [[비퇴화 대칭쌍선형 형식\|비퇴화]] [[대칭 쌍선형 형식]]은 정확히 두 개의 동형류가 있다. 이들은 '''+형'''과 '''−형'''이라고 불리며, 각각 다음과 같다.<ref name="Wilson"/>{{rp\|58}} :<math>f^+=\begin{cases}\operatorname{diag}(1,1,\dots,1,1)&q\equiv1\pmod4\\ \operatorname{diag}(1,1,\dots,1,\alpha),\;\nexists\beta\in\mathbb F_q\colon \alpha=\beta^2&q\equiv3\pmod4

직교군: 두 판 사이의 차이