집합론: 두 판 사이의 차이

=== 일차 술어논리를 사용한 공리적 집합론 ===

단항 술어기호 '<math>\mathrm{Set}</math>'과 양항 술어기호인 포함관계 기호 '<math>\in</math>'모두를 포함하거나 오로지 포함관계 기호만을 포함한 일차 술어논리 언어를 가지고 집합론을 구성할 수 있다.

이 술어기호가 없는 집합론에서는 모든 대상을 집합으로 간주한다. 집합이 없는 대상을 원자(아톰, atom)이라 한다.

만일 <math>x \in X</math>이면 '<math>x</math>가 <math>X</math>의 원소다' 혹은 '<math>X</math>가 <math>x</math>를 포함한다((원소로) 가진다)'고 한다. 이는 기호로 표현한 것을 설명한다기 보다는 자연어로 옮기는 방법을 서술한 것에 가깝다.

기호로 <math>\forall X \forall Y ((\mathrm{Set}(X) \wedge \mathrm{Set}(Y)) \rightarrow (\forall z (z \in X \leftrightarrow z \in Y) \rightarrow X=Y))</math>로 쓸 수 있다.

 

'임의의 <math>(n+1)</math>개 자유변수 <math>\nu, \nu_1, \nu_2, \ldots, \nu_n</math>를 가지는 논리 공식 <math>\varphi</math>에 대하여 <math>\forall \nu_1 \forall \nu_2 \cdots \nu_n \exists X (\forall \nu (\nu \in X \leftrightarrow \varphi(\nu, \nu_1, \ldots, \nu_n))</math>가 성립한다'로 표현할 수 있다.

여기서 변수자리에 쓴 <math>\nu</math>는 그것이 어느 변수라도 될 수 있음을 표현하고자 한 것이다.

이를 피하기 위해 여러 방법이 사용되는데, 크게 세 가지로 구분된다.

하나는 분리공리만을 허용하는 것이고, 또 하나는 변수의 타입을 집합과 유로 구분하는 것이고, 또 하나는 사용할 수 있는 논리 공식에 제한을 두는 것이다.

 

== 같이 보기 ==