"계차수열"의 두 판 사이의 차이

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'''계차수열'''(階差數列)이란 인접하는 두 항의 차로 이루어지는 [[수열]]이다. 예를 들어 수열 {{수학|1, 4, 9, 16, ... , ''n''<sup>2</sup>, ...}}의 계차수열은 {{수학|4 - 1, 9 - 4, 16 - 9, ... , (''n'' + 1)<sup>2</sup> - ''n''<sup>2</sup>, ...}}, 즉 {{수학|3, 5, 7, ... , 2''n'' + 1, ...}}과 같다. 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}의 계차수열의 일반항은 {{수학|''a''<sub>''n''+1</sub> - ''a<sub>n</sub>''}}이다.
 
계차수열은 [[등차수열]], 나아가 고계등차수열을 정의하는 데에 쓸 수 있다.
 
== 정의 ==
수열 {{수학|{''a<mathsub>n</sub>''<nowiki>\{a_n\}</mathnowiki>}}의 '''계차수열'''은 다음과 같은 수열 {{수학|{Δ''a<mathsub>n</sub>''<nowiki>\{\Delta a_n\}</mathnowiki>}}이다.<ref name="WQ">{{저널 인용|저자=吴强|연도=2008|편집자=张飞羽|제목=阶差数列的几个性质及其应用|번역제목=계차수열의 몇가지 성질과 그 응용|언어=zh|저널=河西学院学报|호=2|총서=24|쪽=6–9}}</ref>
 
:<math>\Delta a_n=a_{n+1}-a_n</math>
 
또, {{수학|{Δ''a<mathsub>n</sub>''<nowiki>\{\Delta a_n\}</mathnowiki>}}의 계차수열
 
:<math>\Delta(\Delta a_n)=\Delta a_{n+1}-\Delta a_n</math>
 
을 '''이계차수열'''이라고 하고, {{수학|{Δ<mathsup>\{\Delta^2 a_n\</sup>''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</mathnowiki>}}으로 표기한다.
 
비슷하게 임의의 자연수 {{수학|''k''}}에 대하여 '''{{수학|''k''}}계차수열''' {{수학|{Δ''<mathsup>\Delta^k a_n</mathsup>a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}을 정의할 수 있다.<ref name="WQ" />
 
:<math>\Delta^k a_n=\begin{cases}
\end{cases}</math>
 
위에서 알 수 있듯이, {{수학|''a<mathsub>a_nn</mathsub>''}}의 0계차수열은 자기 자신, 일계차수열은 {{수학|Δ''a<mathsub>\Delta a_nn</mathsub>''}}이다.
 
== 예 ==
* [[피보나치 수열]] {{수학|1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}}의 계차수열은 {{수학|0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...}}(피보나치 수열 앞에 0을 붙인 것)이다.
* 주어진 수열 {{수학|''a<sub>n</sub>''}}의 합 {{수학|1=''S<sub>n</sub>'' = ''a<sub>1</sub>'' + … + ''a<sub>n</sub>''}}의 계차수열은 {{수학|''a<sub>2</sub>'', ''a<sub>3</sub>'', ''a<sub>4</sub>'', ...}}이다.
* 등차수열 {{수학|''a'', ''a'' + ''d'', ''a'' + 2''d'', ...}}의 계차수열은 상수열 {{수학|''d'', ''d'', ''d'', ...}}이다. 특별히, 상수열 {{수학|''c'', ''c'', ''c'', ...}}의 계차수열은 0, 0, 0, ...이다.
 
== 성질 ==
수열 {{수학|{''a<mathsub>n</sub>''<nowiki>\{a_n\}</mathnowiki>}}과 그의 계차수열 {{수학|{Δ''a<mathsub>n</sub>''<nowiki>\{\Delta a_n\}</mathnowiki>}}에 대하여, 다음의 관계가 성립한다.
 
:<math>a_n=a_1+\Delta a_1+\Delta a_2+\cdots+\Delta a_{n-1}=a_1+\sum_{k=1}^{n-1}\Delta a_k</math>
:<math>a_n={n-1\choose 0}a_1+{n-1\choose 1}\Delta a_1+{n-1\choose 2}\Delta^2 a_1+\cdots+{n-1\choose n-1}\Delta^{n-1}a_1=\sum_{k=0}^{n-1}{n-1\choose k}\Delta^k a_1</math>
 
여기서 <math>\textstyle{n-1\choose k}</math>는 <math>{{수학|''n'' - 1</math>}}의 대상 중에서 <math>{{수학|''k</math>''}} 개를 고른 [[조합수]]이다.
 
다만, 위에 적은 홀수열 {{수학|1, 3, ...}}과 짝수열 {{수학|2, 4, ...}}처럼 일계차수열이 같더라도, 수열의 초항이 다르면 다른 수열이 된다.
 
수열의 단조성은 계차수열과 연관있다.
* 수열 {{수학|{''a<mathsub>n</sub>''<nowiki>\{a_n\}</mathnowiki>}}이 [[단조증가]]할 [[필요충분조건]]은 {{수학|Δ ''a<mathsub>\Delta a_n\ge 0n</mathsub>'' ≥ 0}}이 모든 <math>{{수학|''n</math>''}}에게 성립하는 것이다.
* 수열 {{수학|{''a<mathsub>n</sub>''<nowiki>\{a_n\}</mathnowiki>}}이 [[단조감소]]할 필요충분조건은, {{수학|Δ ''a<mathsub>\Delta a_n\le 0n</mathsub>'' ≤ 0}}이 모든 <math>{{수학|''n</math>''}}에게 성립하는 것이다.
 
== 고계등차수열 ==
'''{{수학|''k''}}계등차수열'''은, {{수학|''x''}}계차수열이 상수열이 되게 하는 가장 작은 자연수 {{수학|''x''}}가 {{수학|''k''}}인 수열을 말한다. 공차가 0이 아닌 등차수열은 일계등차수열이다. 상수열은 0계차수열(자기 자신)이 상수열이기에 0계등차수열이다.
 
어떤 수열 {{수학|{''a<sub>n</sub>''<nowiki>}</nowiki>}}이 {{수학|''k''}}계등차수열일 필요충분조건은, 일반항이 {{수학|''n''}}에 대한 [[다항식|{{수학|''k''}}차 다항식]]이라는 것이다.<ref name="WQ" />
 
== 각주 ==