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:<math>\sqrt{2\pi}n^{n+1/2}\exp(-n) \le n! \le e\ n^{n+1/2}\exp(-n)</math>
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=== 스털링 급수 ===
스털링 근사를 일반화시켜, 다음과 같은 '''스털링 급수'''({{llang|en|Stirling series}})를 정의할 수 있다.
:<math>n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac1{12n}+\frac1{288n^2} + \cdots \right) </math>
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. {{OEIS|A1163}}, {{OEIS|A1164}}
:1, 1/12, 1/288, −139/51840, −571/2488320, 163879/209018880, 5246819/75246796800, −534703531/902961561600, …
로그로 쓰면 다음과 같다.
:<math>\ln(n!)\sim n\ln(n) - n + \frac{1}{2}\ln(2\pi n) +\frac1{12n}-\frac1{360n^3}+\cdots\cdots</math>
이 급수에 등장하는 계수는 다음과 같다. {{OEIS|A46968}}, {{OEIS|A46969}}
:1/12, −1/360, 1/1260, −1/1680, 1/1188, −691/360360, 1/156, −3617/122400, 43867/244188, …
스털링 급수는 수렴하지 않는다. 즉, 이는 [[점근 전개]](asymptotic expansion)에 불과하다. 스털링 급수를 주어진 차수에서 절단한다면, 충분히 큰 ''n''에 대하여 이는 유효한 근사가 되지만, 주어진 ''n''에 대해서는 비교적 낮은 차수에서 유효하나 매우 높은 차수에서는 유효하지 않게 된다.
== 역사 ==
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