코쥘 접속: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
31번째 줄:
접다발 <math>TM</math> 위의 접속 <math>\nabla</math>의 경우, 곡률과 더불어 '''[[비틀림 (미분기하학)|비틀림]]'''({{llang|en|torsion}})을 정의할 수 있다. 비틀림 <math>T^\nabla\in\Omega^2(M;TM)</math>은 다음과 같다.
:<math>T^\nabla(X,Y)=\nabla_XY-\nabla_YX-[X,Y]</math>
=== 평행 운송 ===
코쥘 접속은 [[접속 (수학)|(에레스만) 접속]]의 특수한 경우이므로, '''평행 운송'''({{llang|en|parallel transport}})을 정의할 수 있다. 구체적으로, 다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 벡터 다발 <math>E\twoheadrightarrow M</math>
* <math>E</math>의 매끄러운 단면 <math>s\in\Gamma(E)</math>
* <math>E</math> 위의 접속 <math>\nabla</math>
* 매끄러운 [[곡선]] <math>\gamma\colon [0,1]\to M</math>
만약
:<math>\nabla_{\dot\gamma(t)}\sigma=0\qquad\forall t\in[0,1]</math>
이 성립한다면, <math>E</math>를 '''평행 단면'''이라고 한다. 이는 단면의 [[당김]] <math>\gamma^*s\in\Gamma(\gamma^*E)</math>의, 당겨진 접속 <math>\gamma^*\nabla</math>에 대한 공변 미분이 0이라는 것과 동치이다.
이 경우, <math>s(\gamma(1))\in E_{\gamma(1)}</math>를 <math>s(\gamma(0))\in E_{\gamma(0)}</math>의, 곡선 <math>\gamma</math>를 따른 '''평행 운송'''이라고 한다. 이와 같이, 코쥘 접속은 <math>E</math>의 각 올공간들을 (주어진 경로에 따라) "이어붙이는" 것을 알 수 있다.
== 성질 ==
=== 국소성 ===
<math>\nabla s</math>의, <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s</math>의 <math>x</math> [[근방]]의 값에만 의존한다.
줄 38 ⟶ 51:
:<math>\nabla^1-\nabla^2\colon\Gamma(E)\to\Gamma(T^*M\otimes E)</math>
는 매끄러운 [[다발 사상]]을 이룬다. 즉, <math>(\nabla^1-\nabla^2)(s)</math>의 <math>x\in M</math>에서의 값은 <math>s(x)\in E_xM</math>에만 의존한다.
=== 당김 ===
다음과 같은 데이터가 주어졌다고 하자.
* 두 [[매끄러운 다양체]] <math>M</math>, <math>N</math>
* 그 사이의 [[매끄러운 함수]] <math>f\colon M\to N</math>
* <math>N</math> 위의 [[벡터 다발]] <math>E\twoheadrightarrow n</math>
* <math>E</math> 위의 코쥘 접속 <math>\nabla</math>
그렇다면, <math>f</math>를 통해 <math>M</math>위의 [[당김]] 다발 <math>f^*E</math>를 정의할 수 있다. 이 위에 당김 접속
:<math>f^*\nabla\colon\Gamma(f^*E)\to\Gamma(T^*M\otimes f^*E)</math>
은 다음 조건을 만족시키는 유일한 코쥘 접속이다.
:<math>f^*\nabla_X\colon f^*s\mapsto f^*(\nabla_{f_*X}s)\qquad\forall s\in\Gamma(E),\;X\in\Gamma(TM)</math>
여기서 <math>f_*X=df(X)\in\Gamma(TN)</math>는 <math>X\in\Gamma(TM)</math>의 <math>N</math>으로의 밂({{llang|en|pushforward}})이다.
== 예 ==
| |||