"파라콤팩트 공간"의 두 판 사이의 차이

파라콤팩트 공간에 [[하우스도르프 공간]]의 조건을 추가하면, 다음과 같이 여러 유용한 성질들이 성립한다.
* ('''디외도네의 정리''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]은 [[정규 공간]]이다.<ref name="Munkres">{{서적 인용|이름=James R.|성=Munkres|제목=Topology|isbn=978-013181629-9|판=2|출판사=Prentice Hall|날짜=2000|url=http://www.pearsonhighered.com/bookseller/product/Topology/9780131816299.page|zbl=0951.54001|mr=0464128 |언어고리=en}}</ref>{{rp|253}}
** 디외도네의 정리와 모리타의 정리의 따름정리 :정리로부터, 하우스도르프 [[린델뢰프 공간에공간]]에 대하여, [[정칙 공간]] 조건과 파라콤팩트 조건은 동치이다동치라는 사실을 알 수 있다.
 
* 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]] 위의 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여, 이에 종속되는 [[단위 분할]]이 존재한다.
[[하우스도르프 공간]]에 대하여, 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.
* 파라콤팩트 공간이다.
* 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]] 위의 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여, 이에 종속되는 [[단위 분할]]이 존재한다.
따라서, 파라콤팩트성은 [[미분기하학]]에서 핵심적인 단위 분할의 개념과 밀접하게 연관되어 있다.
 
또한, 파라콤팩트 공간은 다음과 같이 [[거라화 가능성]]과 밀접하게 연관되어 있다.
* ('''[[스미르노프 거리화 정리]]''') 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간|하우스도르프]] [[국소 거리화 가능 공간]]의 조건은 [[거리화 가능 공간]] 조건과 동치이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|261}}
 
이 밖에도, 파라콤팩트 하우스도르프 공간에 대하여 다음이 성립한다.
* 위상 공간 X, Y에 대해 X에서 Y로의 [[완전 사상]]({{llang|en|perfect map}})이 존재한다면, Y가 파라콤팩트일 때 X도 파라콤팩트이고, Y가 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]일 때 X도 파라콤팩트 [[하우스도르프 공간]]이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* [[정규 공간|정규]] [[하우스도르프 공간]]의 [[유한 집합|유한 개]] 닫힌 파라콤팩트 부분집합들의 [[합집합]] 역시 파라콤팩트 집합이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}