"파라콤팩트 공간"의 두 판 사이의 차이

 
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 임의의 [[열린 덮개]]에 대하여 국소적 유한 열린 덮개인 [[세분 (위상수학)|세분]]을 찾을 수 있다면, <math>X</math>를 '''파라콤팩트 공간'''이라고 한다.<ref name="조용승">{{서적 인용|저자=조용승|제목=위상수학|출판사=경문사|날짜=2010|언어고리=ko}}</ref>{{rp|68}}
 
=== 관련 개념 ===
파라콤팩트 공간의 정의를 변형시켜 다음과 같은 개념들을 정의할 수 있다.
* '''메조콤팩트 공간'''({{llang|en|mesocompact space}})
* '''메타콤팩트 공간'''({{llang|en|metacompact space}})
* '''직교 콤팩트 공간'''(直交-, {{llang|en|orthocompact space}})
 
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 다음 조건을 만족시키면,'''콤팩트 유한 열린 덮개'''(compact有限-, {{llang|en|compact-finite open cover}})라고 한다.<ref>{{서적 인용|성=Pearl|이름=Elliott|날짜=2007|제목=Open Problems in Topology II|출판사=Elsevier|isbn= 0-444-52208-5|언어고리=en}}</ref>{{rp|23}}
* 임의의 [[콤팩트 집합]] <math>K\subseteq X</math>에 대하여, <math>\{i\in I\colon K\cap U_i\ne\varnothing\}</math>는 [[유한 집합]]이다.
즉, 점 유한 열린 덮개는 모든 콤팩트 집합이 유한 개의 덮개 원소와 만나는 [[열린 덮개]]이다.
 
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''점 유한 열린 덮개'''(點有限-, {{llang|en|point-finite open cover}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\{i\in I\colon x\in U_i\}</math>는 [[유한 집합]]이다.
즉, 점 유한 열린 덮개는 모든 점이 유한 개의 덮개 원소에만 포함되는 [[열린 덮개]]이다.
 
[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 [[열린 덮개]] <math>\{U_i\}_{i\in I}</math>가 다음 조건을 만족시키면, '''내부 보존 열린 덮개'''(內部保存-, {{llang|en|interior-preserving open cover}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math>에 대하여, <math>\bigcap\{U_i\colon i\in I\,x\in U_i\}</math>는 [[열린집합]]이다.
 
이들 개념들로부터, 다음과 같은 꼴의 정의를 내릴 수 있다.
:[[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X</math> 위의 임의의 [[열린 덮개]]가 조건 P를 만족시키는 열린 [[세분 (위상수학)|세분]]을 갖는다면, <math>X</math>를 '''~ 공간'''이라고 한다.
이 정의들은 다음과 같다.
{| class=wikitable
! 개념 || [[세분 (위상수학)|세분]]의 조건
|-
! 파라콤팩트 공간
| 국소적 유한 [[열린 덮개]]
|-
! 메조콤팩트 공간
| 콤팩트 유한 [[열린 덮개]]<ref>K.P. Hart; J. Nagata; J.E. Vaughan, eds. (2004), ''Encyclopedia of General Topology'', Elsevier, ISBN 0-444-50355-2</ref>{{rp|200}}
|-
! 메타콤팩트 공간
| 점 유한 [[열린 덮개]]
|-
! 직교 콤팩트 공간
| 내부 보존 [[열린 덮개]]
|}
 
== 성질 ==
~콤팩트 공간과 [[콤팩트 공간]]의 [[곱공간]]에 대하여 다음이 성립한다.
파라콤팩트성은 다음과 같은 연산에 대하여 닫혀 있다.
* 파라콤팩트 공간의 [[닫힌 집합|닫힌]] 부분 공간은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|254}}
* 파라콤팩트 공간과 콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|260}}
* 콤팩트 공간과 메조콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 메조콤팩트 공간이다.
* 콤팩트 공간과 메타콤팩트 공간의 [[곱공간]]은 메타콤팩트 공간이다.
그러나 직교 콤팩트 공간의 경우 이러한 꼴의 정리가 성립하지 않는다. 이에 대한 부분적인 결과인 '''스콧 정리'''({{llang|en|Scott’s theorem}})에 따르면, 임의의 직교 콤팩트 공간 <math>X</math>에 대하여 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이다.<ref>B.M. Scott, "Towards a product theory for orthocompactness", ''Studies in Topology'', N.M. Stavrakas and K.R. Allen, eds (1975), p.517–537.</ref>
* <math>X\times[0,1]</math>은 직교 콤팩트 공간이다.
* <math>X</math>는 메타콤팩트 가산 콤팩트 공간이다.
 
또한, ~콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]에 대하여 다음이 성립한다.
* 파라콤팩트 공간의 [[닫힌 집합|닫힌닫힌집합]] 부분 공간은 파라콤팩트 공간이다.<ref name="Munkres"/>{{rp|254}}
* 메조콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 메조콤팩트 공간이다.
* 메타콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 메타콤팩트 공간이다.
* 직교 콤팩트 공간의 [[닫힌집합]]은 직교 콤팩트 공간이다.
 
한편, 일반적으로 파라콤팩트 공간의 임의의 부분공간은 파라콤팩트 공간이 되지 않으므로 파라콤팩트성은 [[유전적 성질]]이 아니다. 또한, [[콤팩트 공간]]들을 모으면 [[티호노프 정리]]에 의해 그 곱공간 역시 [[콤팩트 공간]]이 되는 것과는 다르게, 파라콤팩트 공간의 임의의 [[곱공간]]은 파라콤팩트 공간이 되지 않는다.<ref name="Munkres"/>{{rp|253}}
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[콤팩트 공간]] ⊊ 파라콤팩트 공간 ⊊ [[메조콤팩트 공간]] ∩ [[준파라콤팩트 공간]]
:파라콤팩트 공간 ⊊ 메조콤팩트 공간 ⊊ 메타콤팩트 공간 ⊊ 직교 콤팩트 공간
이 밖에도, 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
* 파라콤팩트 [[희박 콤팩트 공간]]은 콤팩트 공간이다.
== 참고 문헌 ==
{{각주}}
* {{서적 인용|이름=P.|성=Fletcher|이름2=W. F.|성2=Lindgren|제목=Quasi-uniform spaces|출판사=Marcel Dekker|날짜=1982|isbn=0-8247-1839-9|언어고리=en}}
 
== 바깥 고리 ==