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:<math>\operatorname O(\infty)\simeq\Omega^8\operatorname O(\infty)</math>
 
무한 차원 [[분해 가능 공간|분해 가능]] 실수 [[힐베르트 공간]] <math>\mathcal H</math>의 직교군 <math>\operatorname O(\mathcal H)</math>는 <math>\operatorname O(\infty)</math>와 다르다. [[작용소 노름]]에 의한 위상을 주었을 때, <math>\operatorname O(\mathcal H)</math>는 [[축약 가능 공간]]이며, 따라서 모든 [[호모토피 군]]이 자명하다.<ref>{{저널 인용|doi=10.1016/0040-9383(65)90067-4|제목=The homotopy type of the unitary group of Hilbert space|이름=Nicolaas H.|성=Kuiper|저널=Topology|권=3|호=1|쪽=19–30|날짜=1965|언어고리언어=en}}</ref>
:<math>\pi_i(\operatorname O(\mathcal H))=0\quad\forall i</math>
 
* {{nlab|id=stable orthogonal group|title=Stable orthogonal group}}
* {{수학노트|title=직교군과 직교리대수}}
* {{웹 인용|url=http://www.math.umn.edu/~garrett/m/v/sporadic_isogenies.pdf|제목=Sporadic isogenies|이름=Paul|성=Garrett|날짜=2015-05-07|언어고리언어=en}}
 
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