갈릴레이 군: 두 판 사이의 차이

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그렇다면 이들의 리 괄호는 다음과 같다. (물리학 관례를 따라, 모든 생성원에는 <math>i</math>가 곱해져 있다.)
:<math>[H,P_i]=[P_i,P_j]=[L_J_{ij},H]=[C_i,C_j]=[C_i,P_j]=0</math>
:<math>[J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]</math>
:<math>[J_{ij},P_k]=i[\delta _{ik}P_j-\delta _{jk}P_i]</math>
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== 성질 ==
갈릴레이 대수는 [[푸앵카레 대수]]와 달리 자명하지 않은 2차 [[리 대수 코호몰로지]]를 가진다. 다시 말해, 갈릴레이 대수는 자명하지 않은 중심 확대를 갖는다. 따라서, 갈릴레이 변환을 따르는 고전적 계를 [[양자화]]한다면, 양자계는 일반적으로 갈릴레이 변환의 중심 확대를 따르게 된다.
 
이에 따라, 중심 전하 <math>M</math>을 추가하면, 갈릴레이 대수는 다음과 같다.
:<math>[H,P_i]=[P_i,P_j]=[J_{ij},H]=[C_i,C_j]=0</math>
:<math>[J_{ij},J_{kl}]=i[\delta _{ik}J_{jl}-\delta _{il}J_{jk}-\delta _{jk}J_{il}+\delta _{jl}J_{ik}]</math>
:<math>[J_{ij},P_k]=i[\delta _{ik}P_j-\delta _{jk}P_i]</math>
:<math>[J_{ij},C_k]=i[\delta _{ik}C_j-\delta _{jk}C_i]</math>
:<math>[C_i,H]=iP_i</math>
:<math>[C_i,P_j]=M</math>
 
== 표현론 ==
3+1차원 갈릴레이 대수 <math>\mathfrak{gal}(3+1)</math>의 ([[중심 확대]]의) 유한 차원 유니터리 표현은 다음과 같이 분류된다.
 
우선, 중심 확대된 3+1차원 갈릴레이 대수의 [[카시미르 불변량]]은 다음이 있다.
* 중심 전하 <math>M</math>. 이는 [[질량]]에 해당한다.
* [[질량 껍질]] 불변량 <math>ME-P^2/2</math>. 이는 [[질량]]과 [[정지 에너지]]의 곱이다.
* <math>W_{ij}=MJ_{ij}+P_iC_j-P_jC_i</math>
* <math>W_{ijk}=P_iJ_{jk}+P_jJ_{ki}+P_kJ_{ij}</math>
[[슈어 보조정리]]에 따라, 기약 유니터리 표현에서 이 카시미르 불변량들은 단위 행렬에 비례하며, 따라서 표현들을 카시미르 불변량의 값에 따라 분류할 수 있다. 위 불변량들의 값이 각각
* <math>m</math>
* <math>mE_0</math>
* <math>w_{ij}</math>
* <math>w_{ijk}</math>
라고 하자. 유니터리 표현을 가정하였으므로, <math>m</math>은 [[실수]]이다. 물리학적으로 <math>E_0\ge0</math>이어야만 한다.
 
=== <math>m\ne0</math> ===
<math>m\ne0</math>인 경우를 생각하자. <math>(E,\mathbf P)</math> 공간 위에 [[질량 껍질]] 제약 <math>mE=mE_0+P^2/2</math>을 가한 초곡면을 '''[[질량 껍질]]'''이라고 하며, 갈릴레이 변환 <math>C_i</math>는 질량 껍질 위에 [[추이적 작용|추이적으로 작용]]한다.
 
[[유도 표현]] ([[위그너 분류]]) 방법을 사용하면, <math>C_i</math>의 작용의 [[안정자군]]을 고려하게 된다. 이 안정자군은 <math>J_{ij}</math>에 의해 생성되는 [[스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(n)</math>이다 (<math>n\ge3</math>). <math>n=3</math>인 경우, [[3차원 직교군|3차원 스핀 군]] <math>\operatorname{Spin}(3)=\operatorname{SU}(2)</math>의 유한 차원 유니터리 표현은 [[스핀]] <math>s\in\{0,1/2,1,3/2,\dots\}</math>에 의하여 완전히 분류된다. 즉, <math>m\ne0</math>인 경우 갈릴레이 대수의 유니터리 표현은 <math>\operatorname{Spin}(n)</math>의 유니터리 표현 <math>s</math> 및 질량 <math>m</math>, 정지 에너지 <math>E_0</math>에 의하여 분류된다.
 
=== <math>m=0</math> ===
<math>m=0</math>인 경우, 유니터리 표현이므로 <math>mE-\mathbf p^2/2=-\mathbf p^2/2\le0</math>이다. [[유도 표현]] 방법에 따르면, <math>(E,\mathbf P)</math> 공간에서의 [[안정자군]]을 고려해야 한다.
* <math>\mathbf p^2=0</math>인 경우: 이 경우 안정자군은 <math>J_{ij}</math>와 <math>C_i</math>에 의하여 생성되는 [[유클리드 군]] <math>\operatorname{ISO}(n)\cong\mathbb R^n\rtimes\operatorname{SO}(n)</math>이다. 따라서 이 경우 표현은 [[유클리드 군]]의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 [[진공]]밖에 없으며, 이는 유클리드 군의 자명한 표현에 해당한다.
* <math>\mathbf p^2>0</math>인 경우: 이 경우 안정자군은 <math>\operatorname{ISO}(n-1)</math>이며, 이는 <math>\mathbf p</math>에 대하여 수직인 방향의 <math>C_i</math> 및 <math>P_i</math>에 의하여 생성된다. 따라서 이 경우 표현은 [[유클리드 군]] <math>\operatorname{ISO}(n-1)</math>의 유니터리 표현의 분류로 귀결된다. 물리학적으로, 이 표현을 따르는 상태는 운동량의 (유한한 거리에 대한) 순간적인 이동을 나타내며, 즉 원격 작용({{llang|en|action at a distance}})을 전달하는 입자이다. 이러한 표현은 [[푸앵카레 군]]의 [[타키온]] 표현과 유사하다.
 
== 예 ==