"교환자 부분군"의 두 판 사이의 차이

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여기서
:<math>[g,h]=g^{-1}h^{-1}gh</math>
는 군의 [[교환자]]이다. 교환자 부분군은 항상 [[정규부분군정규 부분군]]이다.
 
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 '''''n''차 유도 부분군'''({{llang|en|''n''th derived subgroup}}) <math>G^{(n)}</math>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}</math>
즉, 교환자 부분군을 ''n''번 취한 부분군이다. 따라서 다음과 같은 정규부분군들의[[정규 부분군]]들의 열이 존재한다.
:<math>G=G^{(0)}\triangleright G^{(1)}\triangleright G^{(2)}\triangleright\cdots</math>
이를 '''유도열'''({{llang|en|derived series}})이라고 한다.
 
교환자 부분군이 [[자명군]]인 군을 [[아벨 군]]이라 한다. 교환자 부분군이 스스로인 군을 [[완전군]]이라고 한다.
 
=== 아벨화 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>가 주어졌을 때, 교환자 부분군 <math>G^{(1)}</math>은 그 [[정규 부분군]]이며, 이에 대한 [[몫군]]
:<math>G^{\operatorname{ab}}=G/G^{(1)}</math>
은 [[아벨 군]]을 이룬다. 이를 '''아벨화'''(Abel化, {{llang|en|abelianization}})라고 한다. [[범주론]]적으로 이는 군과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Grp}</math>에서 [[아벨 군]]과 [[군 준동형]]의 범주 <math>\operatorname{Ab}</math>로 가는 [[함자]]를 이룬다.
:<math>(-)^{\operatorname{ab}}\colon\operatorname{Grp}\to\operatorname{Ab}</math>
[[아벨 군]]은 군의 일종이므로, 포함 함자
:<math>I\colon\operatorname{Ab}\to\operatorname{Grp}</math>
가 존재한다. 아벨화 함자는 포함 함자의 [[왼쪽 수반 함자]]이다.
:<math>(-)^{\operatorname{ab}}\dashv I</math>
 
[[호몰로지 대수학]]에서, 군의 아벨화는 정수 계수의 1차 [[군 호몰로지]]
:<math>G^{\operatorname{ab}}=\operatorname H_1(G;\mathbb Z)</math>
와 같다.
 
== 예 ==