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는 군의 [[교환자]]이다. 교환자 부분군은 항상 [[정규 부분군]]이다.
 
=== 유도열 ===
[[군 (수학)|군]] <math>G</math>의 '''''n''차 유도 부분군'''(''n''次誘導部分群, {{llang|en|''n''th derived subgroup}}) <math>G^{(n)}</math>은 다음과 같이 정의된다.
:<math>G^{(n+1)}=(G^{(n)})^{(1)}</math>
이를 '''유도열'''(誘導列, {{llang|en|derived series}})이라고 한다.
 
유도열을 임의의 [[순서수]]에 대하여 다음과 같이 확장할 수 있다.
교환자 부분군이 [[자명군]]인 군을 '''[[아벨 군]]'''이라 한다. 교환자 부분군이 스스로인 군을 '''[[완전군]]'''이라고 한다.
* <math>G^{(0)}=G</math>
* [[따름 순서수]] <math>\alpha+1</math>에 대하여,
*:<math>G^{(\alpha+1)}=(G^{(\alpha)})^{(1)}</math>
* [[극한 순서수]] <math>\alpha</math>에 대하여,
*:<math>G^{(\alpha)}=\bigcap_{\beta<\alpha}G^{(\beta)}</math>
이를 '''초한 유도열'''(超限誘導列, {{llang|en|transfinite derived series}})이라고 한다.
 
유도열을 사용하여, 다양한 종류의 군들의 [[모임 (집합론)|모임]]을 정의할 수 있다.
* 교환자 부분군이 [[자명군]]인 군을 '''[[아벨 군]]'''이라 한다. 교환자 부분군이 스스로인 군을 '''[[완전군]]'''이라고 한다.
* 교환자 부분군이 스스로인 군을 '''[[완전군]]'''이라고 한다.
* 어떤 자연수 <math>n\in\mathbb N</math>에 대하여 <math>G^{(n)}=1</math>인 군 <math>G</math>를 '''[[가해군]]'''이라고 한다.
* 어떤 [[순서수]] <math>\alpha\in\operatorname{Ord}</math>에 대하여 <math>G^{(\alpha)}=1</math>인 군 <math>G</math>를 '''준 아벨 군'''({{llang|en|hypo-Abelian group}})이라고 한다.
 
=== 아벨화 ===
| 크기 8의 [[정이면체군]] <math>\operatorname{Dih}_4</math> || <math>\operatorname Z(\operatorname{Dih}_4)\cong \mathbb Z/2</math>
|}
 
[[대수적 위상수학]]에서, [[경로 연결 공간]] <math>X</math>의 [[기본군]] <math>\pi_1(X)</math>의 아벨화는 정수 계수 1차 [[특이 호몰로지]] <math>\operatorname H_1(X;\mathbb Z)</math>이다. 이는 [[후레비치 준동형]]의 특수한 경우이다. 즉, 기본군의 교환자 부분군은 1차 [[후레비치 준동형]]의 [[핵 (수학)|핵]]이다.
 
== 참고 문헌 ==