모노이드: 두 판 사이의 차이

내용 삭제됨 내용 추가됨
잔글편집 요약 없음
편집 요약 없음
3번째 줄:
'''모노이드'''(monoid)는 [[대수 구조]]의 하나로, [[이항 연산|이항 연산자]]와 [[항등원]]이 존재하며 연산의 [[결합법칙]]이 성립하는 구조이다.
 
== 정의 ==
수학적으로는 다음과 같이 정의한다. 집합 <math>M</math>와 그 집합에 대해 [[닫힘 (수학)|닫혀 있는]] 이항 연산자 <math>*: M \times M \rarr M</math>에 대하여,
'''모노이드''' <math>(M,\cdot)</math>는 다음과 같은 데이터로 구성되는 [[대수 구조]]이다.
* [[결합법칙]]이 성립한다: <math>M</math>의 모든 원소 <math>a, b, c</math>에 대해 <math>(a*b)*c = a*(b*c)</math>이 성립한다.
* <math>M</math>은 [[집합]]이다.
* [[항등원]]이 존재한다: <math>M</math>의 모든 원소 <math>a</math>에 대해 <math>a*e = e*a = a</math>인 <math>M</math>의 원소 <math>e</math>가 존재한다.
* <math>\cdot\colon M\times M\to M</math>은 [[이항 연산]]이다.
이 두 성질이 만족하는 구조 <math>(M, *)</math>를 모노이드라고 정의한다.
이 데이터는 다음과 같은 두 공리를 만족시켜야 한다.
* ([[결합 법칙]]) 임의의 <math>a,b,c\in M</math>에 대하여, <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>
* ([[항등원]]의 존재) 임의의 <math>a\in M</math>에 대하여 <math>1\cdot a=a\cdot1=a</math>가 성립하는 원소 <math>1\in M</math>이 존재한다. (만약 이러한 항등원이 존재한다면, 이는 유일하다는 것을 쉽게 보일 수 있다.)
두 번째 공리를 생략하면 '''[[반군 (수학)|반군]]'''의 개념을 얻는다. 즉, 모노이드와 반군의 관계는 [[환 (수학)|환]]과 [[유사환]]의 관계와 같다. 보통, 편의상 이항 연산을 (곱셈과 같이) 생략하는 경우가 많다.
 
즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
모노이드는 [[반군 (수학)|반군]]에 항등원 존재 조건을 추가한 구조이다. 또한 모노이드의 조건에 [[역원]] 조건을 추가하면 [[군 (수학)|군]]이 성립한다.
:[[마그마 (수학)|마그마]] ⊊ [[반군 (수학)|반군]] ⊊ 모노이드 ⊊ [[군 (수학)|군]]
 
=== 같이부분 보기모노이드 ===
모노이드 <math>M</math>의 부분 집합 <math>S\subseteq M</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>S</math>를 <math>M</math>의 '''부분 모노이드'''({{llang|en|submonoid}})라고 한다.
* [[에크만-힐턴 정리]]
* 임의의 <math>s,t\in S</math>에 대하여, <math>st\in S</math>
* <math>1\in S</math>
둘째 조건은 첫째로부터 함의되지 않는다. 첫째 조건을 만족시키지만 둘째 조건을 만족시키지 않는 부분 집합은 [[부분 반군]]을 이루지만, 부분 모노이드를 이루지 않는다.
 
=== 가환 모노이드 ===
{{토막글|수학}}
모노이드 <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''가환 모노이드'''({{llang|en|commutative monoid}})라고 한다.
:임의의 <math>m,n\in M</math>에 대하여, <math>mn=nm</math>
가환 모노이드인 [[군 (수학)|군]]은 [[아벨 군]]이다.
 
== 예 ==
모든 [[군 (수학)|군]]은 모노이드를 이룬다.
 
[[자연수]](음이 아닌 [[정수]])의 집합 <math>\mathbb N</math>은 덧셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다. (그러나 양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>은 덧셈에 대하여 가환 [[반군 (수학)|반군]]을 이루지만 가환 모노이드를 이루지 않는다.)
 
정수 집합의 다음과 같은 부분 집합들은 곱셈에 대하여 모노이드를 이룬다.
* 양의 정수의 집합 <math>\mathbb Z^+</math>
* 자연수의 집합 <math>\mathbb N=\mathbb Z^+\cup\{0\}</math>
* <math>\{0,1\}</math>
* <math>\{0\}</math>
* <math>\{1\}</math>
* 임의의 정수 <math>k</math>에 대하여, <math>\{1,k,k^2,k^3,\dots\}</math>
 
임의의 [[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>X</math> 위의 [[자기 사상]] 집합 <math>\hom_{\mathcal C}(X,X)</math>은 사상 합성에 대하여 모노이드를 이룬다. 이를 '''[[자기 사상 모노이드]]'''({{llang|en|endomorphism monoid}}) <math>\operatorname{End}_{\mathcal C}X</math>라고 한다.
 
=== 자유 모노이드 ===
모노이드의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이루므로, [[자유 대수]]를 정의할 수 있다. 이를 '''자유 모노이드'''({{llang|en|free monoid}})라고 한다. [[집합]] <math>S</math>로부터 생성되는 자유 모노이드는 그 [[클레이니 스타]] <math>S^*</math>와 같다. 즉, <math>S^*</math>의 원소는 <math>S</math>를 알파벳으로 하는 [[문자열]]이며, 모노이드 연산은 문자열의 이음이다. 모노이드 연산의 항등원은 길이가 0인 유일한 문자열이다.
 
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Monoid}}
* {{nlab|id=monoid|title=Monoid}}
* {{nlab|id=category of monoids|title=Category of monoids}}
* {{nlab|id=free monoid|title=Free monoid}}
* {{nlab|id=commutative monoid|title=Commutative monoid}}
 
== 같이 보기 ==
* [[모노이드 대상]]
* [[모노이드 범주]]
 
[[분류:반군론]]