모노이드: 두 판 사이의 차이
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즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[마그마 (수학)|마그마]] ⊊ [[반군 (수학)|반군]] ⊊ 모노이드 ⊊ [[군 (수학)|군]]
[[범주론]]적으로, 모노이드는 [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> 속의 [[모노이드 대상]]이다. 또한, 하나의 대상만을 갖는 [[작은 범주]]는 모노이드와 같은 개념이다. 이 경우, 모든 사상은 [[자기 사상]]이며, 모노이드 이항 연산은 [[자기 사상]]의 합성이다.
=== 모노이드 준동형 ===
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:임의의 <math>m,n\in M</math>에 대하여, <math>mn=nm</math>
가환 모노이드인 [[군 (수학)|군]]은 [[아벨 군]]이다.
== 연산 ==
=== 반대 모노이드 ===
모노이드 <math>(M,\cdot)</math>이 주어졌을 때, 집합 <math>M</math> 위에 다음과 같은 다른 [[이항 연산]] <math>\cdot'</math>을 줄 수 있다.
:<math>\cdot'\colon M\times M\to M</math>
:<math>a\cdot'b=b\cdot a\qquad\forall a,b\in M</math>
그렇다면 <math>(M,\cdot')</math>은 모노이드를 이룬다. 이를 <math>(M,\cdot)</math>의 '''반대 모노이드'''(反對monoid, {{llang|en|opposite monoid}})라고 하고, <math>M^{\operatorname{op}}</math>으로 쓴다.
군론의 [[반대군]]이나, 환론의 [[반대환]]은 반대 모노이드의 특수한 경우이다. 모노이드를 하나의 대상을 갖는 [[범주 (수학)|범주]]로 간주한다면, 반대 모노이드는 [[반대 범주]]의 특수한 경우이다.
=== 직접곱 ===
{{본문|직접곱}}
모노이드의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]이므로, 여러 개의 모노이드들의 '''[[직접곱]]'''을 정의할 수 있다. 구체적으로, 모노이드들의 집합 <math>\{M_i\}_{i\in I}</math>의 '''직접곱''' <math>\textstyle\prod_iM_i</math>은 집합으로서 [[곱집합]]과 같으며, 그 위의 이항 연산은 다음과 같다.
:<math>(a_i)_{i\in I}\cdot(b_i)_{i\in I}=(a\cdot b)_{i\in I}\qquad\forall a_i,b_i\in M_i</math>
만약 모든 <math>M_i</math>가 가환 모노이드라면, 이들의 직접곱 <math>\textstyle\prod_i M_i</math> 역시 가환 모노이드이다. 모노이드의 직접곱은 모노이드의 범주에서의 [[곱 (범주론)|범주론적 곱]]이다.
=== 자유곱 ===
{{본문|자유곱}}
모노이드의 [[모임 (집합론)|모임]]은 [[대수 구조 다양체]]이므로, 여러 개의 모노이드들의 '''[[자유곱]]'''을 정의할 수 있으며, 이는 모노이드의 범주의 [[쌍대곱]]이다. 구체적으로, 모노이드들의 집합 <math>\{M_i\}_{i\in I}</math>이 주어졌을 때, 자유곱 <math>\textstyle\coprod_iM_i</math>의 원소는 다음과 같은 [[문자열]]이다.
:<math>a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_k}\qquad(a_{i_1}\in M_{i_1}\setminus\{1_{M_{i_1}}\},\dots,a_{i_k}\in M_{i_k}\setminus\{1_{M_{i_k}}\};\quad i_1\ne i_2\ne\cdots\ne i_k)</math>
즉, 각 모노이드의 항등원이 아닌 원소들로 구성된 문자열이며, 문자열에서 서로 마주하는 문자들은 서로 다른 모노이드에 속하여야 한다.
== 예 ==
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* 임의의 정수 <math>k</math>에 대하여, <math>\{1,k,k^2,k^3,\dots\}</math>
=== 자명 모노이드 ===
{{본문|자명군}}
다른 [[대수 구조 다양체]]와 마찬가지로, 모노이드의 경우 '''자명 모노이드'''(自明monoid, {{llang|en|trivial monoid}})를 정의할 수 있다. 이는 [[한원소 집합]] 위에 정의할 수 있는 유일한 [[이항 연산]]이다. 이는 사실 [[아벨 군]]을 이루며, 이를 '''[[자명군]]'''이라고 한다.
=== 자기 사상 모노이드 ===
임의의 [[국소적으로 작은 범주]] <math>\mathcal C</math> 속의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, <math>X</math> 위의 [[자기 사상]] 집합 <math>\hom_{\mathcal C}(X,X)</math>은 사상 합성에 대하여 모노이드를 이룬다. 이를 '''[[자기 사상 모노이드]]'''({{llang|en|endomorphism monoid}}) <math>\operatorname{End}_{\mathcal C}X</math>라고 한다.
=== 자유 모노이드 ===
모노이드의 모임은 [[대수 구조 다양체]]를 이루므로, [[자유 대수]]를 정의할 수 있다. 이를 '''자유 모노이드'''(自由monoid, {{llang|en|free monoid}})라고 한다. [[집합]] <math>S</math>로부터 생성되는 자유 모노이드는 그 [[클레이니 스타]] <math>S^*</math>와 같다. 즉, <math>S^*</math>의 원소는 <math>S</math>를 알파벳으로 하는 [[문자열]]이며, 모노이드 연산은 문자열의 이음이다. 모노이드 연산의 항등원은 길이가 0인 유일한 문자열이다.
[[공집합]]으로 생성되는 자유 모노이드는 자명 모노이드이다. [[한원소 집합]]으로 생성되는 자유 모노이드는 자연수의 덧셈 모노이드 <math>(\mathbb N,+)</math>와 동형이다. 두 개 이상의 원소를 갖는 집합으로 생성되는 자유 모노이드는 비가환 모노이드이며 무한 집합이다.
== 바깥 고리 ==
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