모노이드: 두 판 사이의 차이
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[[공집합]]으로 생성되는 자유 가환 모노이드는 자명 모노이드이다. [[한원소 집합]]으로 생성되는 자유 가환 모노이드는 한원소 집합 위의 자유 모노이드와 같으며, 자연수의 덧셈 모노이드 <math>(\mathbb N,+)</math>와 동형이다. [[산술의 기본 정리]]에 따르면, 양의 정수 집합의 곱셈 모노이드 <math>(\mathbb Z^+,\cdot)</math>는 [[소수 (수론)|소수]] 집합 위의 자유 가환 모노이드와 표준적으로 동형이다.
=== 0의 추가 ===
모노이드 <math>M</math>이 주어졌을 때, <math>M\sqcup\{0\}</math>에 다음과 같은 연산을 주자.
:<math>0m=m0=0^2=0\qquad\forall m\in M</math>
그렇다면 <math>M\sqcup\{0\}</math>은 모노이드를 이룬다.
=== 작은 크기의 모노이드 ===
크기가 1인 모노이드는 자명 모노이드 밖에 없다. 크기가 2인 모노이드는 다음 2개가 있으며, 둘 다 가환 모노이드이다.
* 2차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>. 표시: <math>\langle x|x^2=1\rangle</math>
* <math>\langle 0|0^2=0\rangle</math>. 이는 [[자명군]]에 0을 추가한 것이다.
크기가 3인 모노이드는 다음 7개가 있으며, 7개 가운데 5개는 가환 모노이드이다.
* 가역원군 크기 3:
** 3차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(3)</math> (가환 모노이드). 표시: <math>\langle x|x^4=1\rangle</math>
* 가역원군 크기 2:
** <math>\operatorname{Cyc}(2)\cup\{0\}</math> (가환 모노이드). 표시: <math>\langle 0,x|0x=x0=0^2=0,x^2=1\rangle</math>. 이는 2차 [[순환군]] <math>\operatorname{Cyc}(2)</math>에 0을 추가한 것이다.
* 가역원군 크기 1:
** <math>\{1,0,x\}</math>, <math>x^2=x</math> (가환 모노이드). 표시: <math>\langle 0,x|0x=x0=0^2=0,x^2=x\rangle</math>. 이는 크기 2의 가환 모노이드 <math>\langle x|x^2=x\rangle</math>에 0을 추가한 것이다.
** <math>\{1,0,x\}</math>, <math>x^2=0</math> (가환 모노이드). 표시: <math>\langle 0,x|0x=x0=x^2=0^2=0\rangle</math>
** <math>\{1,x,x^2\}</math>, <math>x^3=x</math> (가환 모노이드). 표시: <math>\langle x|x^3=x\rangle</math>
** <math>\{1,x,y\}</math>, <math>x^2=xy=x</math>, <math>y^2=yx=y</math> (비가환 모노이드). 표시: <math>\langle x,y|x^2=xy=x,y^2=yx=x\rangle</math>
** 위 모노이드의 반대 모노이드. 표시: <math>\langle x,y|x^2=yx=x,y^2=xy=x\rangle</math>
크기가 <math>n</math>인 모노이드의 동형류의 수는 다음과 같다. (<math>n=1,2,3,\dots</math>
:1, 2, 7, 35, 228, 2237, 31559, 1668997, … {{OEIS|A058129}}
== 참고 문헌 ==
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