모노이드: 두 판 사이의 차이
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둘째 조건은 첫째로부터 함의되지 않는다. 첫째 조건을 만족시키지만 둘째 조건을 만족시키지 않는 부분 집합은 [[부분 반군]]을 이루지만, 부분 모노이드를 이루지 않는다.
=== 가역원군 ===
모노이드 <math>M</math>의 원소 <math>m\in M</math>의 '''왼쪽 역원'''({{llang|en|left inverse}})은 (만약 존재한다면) 다음 조건을 만족시키는 원소 <math>n\in M</math>이다.
:<math>nm=1</math>
모노이드 <math>M</math>의 원소 <math>m\in M</math>의 '''오른쪽 역원'''({{llang|en|right inverse}})은 (만약 존재한다면) 다음 조건을 만족시키는 원소 <math>n\in M</math>이다.
:<math>mn=1</math>
<math>m\in M</math>의 왼쪽 역원이자 오른쪽 역원인 원소는 '''역원'''({{llang|en|inverse}})이라고 하고, <math>m^{-1}</math>로 쓴다. 주어진 원소의 왼쪽 역원 및 오른쪽 역원은 유일하지 않을 수 있지만, 주어진 원소의 역원은 (만약 존재한다면) 유일하다. 역원을 갖는 원소를 '''[[가역원]]'''({{llang|en|invertible element}}, {{lang|en|unit}})이라고 한다.
모노이드 <math>M</math>의 가역원들의 [[부분 집합]]은 부분 모노이드를 이루며, 또한 [[군 (수학)|군]]을 이룬다. 이를 <math>M</math>의 '''가역원군'''({{llang|en|unit group}}) <math>\operatorname{Unit}(M)</math>이라고 한다.
== 종류 ==
=== 가환 모노이드 ===
모노이드 <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''가환 모노이드'''(可換monoid, {{llang|en|commutative monoid}})라고 한다.
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가환 모노이드인 [[군 (수학)|군]]은 [[아벨 군]]이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[마그마 (수학)|마그마]] ⊊ [[반군 (수학)|반군]] ⊊ 모노이드 ⊊ 가환 모노이드 ⊊ [[아벨 군]] = [[군 (수학)|군]] ∩ 가환 모노이드
=== 멱등 모노이드 ===
모노이드 <math>M</math>이 다음 조건을 만족시킨다면, '''멱등 모노이드'''(冪等monoid, {{llang|en|idempotent monoid}})라고 한다.
:임의의 <math>m\in M</math>에 대하여, <math>m^2=m</math>
자명 모노이드가 아닌 멱등 모노이드는 [[군 (수학)|군]]이 될 수 없다.
== 연산 ==
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