범주 (수학): 두 판 사이의 차이
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{{다른 뜻|제1 범주 집합||[[일반위상수학]]에서의 범주}}
{{대수 구조}}
[[범주론]]에서, '''범주'''(範疇, {{llang|en|category}})는 추상적인 구조와 이를 보존하는 변환의 개념을 형식화한 것이다. 수학의 각 분야를 범주를 통해 연구하는 분야를 '''범주론'''(範疇論, {{llang|en|category theory}})이라고 한다. 범주는 현대 수학의 거의 모든 분야에 나타나며, 수학의 여러 분야를 공통적인 언어로 다룰 수 있게 한다. 수학 밖에도, 범주론은 [[컴퓨터 과학]]과 [[수리물리학]]에서도 쓰인다.
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범주 <math>\mathcal C</math>가 주어졌을 때, 다음과 같은 '''반대 범주'''(反對範疇, {{llang|en|opposite category}}) <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>를 정의할 수 있다.
* <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>의 대상은 <math>\mathcal C</math>의 대상과 같다.
* <math>\mathcal C^{\operatorname{op}}</math>에서, 대상 <math>X</math>에서 <math>Y</math>로 가는 사상 <math>f\colon X\to Y</math>는 <math>\mathcal C</math>에서, <math>Y</math>에서 <math>Y</math>로 가는 사상 <math>f\colon Y\to X</math>이다. 즉, <math>\hom_{\mathcal C^{\operatorname{op}}}(X,Y)=\hom_{\mathcal C}(Y,X)</math>이다.
반대 범주에서는 [[전사 사상]]이 [[단사 사상]]으로, [[곱 (범주론)|곱]]이 [[쌍대곱]]으로, [[극한 (범주론)|극한]]이 [[쌍대극한]]으로 바뀐다. 만약 [[모노이드]]나 [[군 (수학)|군]], [[환 (수학)|환]]을 하나의 대상을 갖는 범주로 간주할 경우, 반대 범주의 개념은 [[반대 모노이드]] · [[반대군]] · [[반대환]]의 개념의 일반화이다.
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