모노이드: 두 판 사이의 차이

{{대수 구조|expanded=군}}

 

 

== 정의 ==

* ([[결합 법칙]]) 임의의 <math>a,b,c\in M</math>에 대하여, <math>(a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)</math>

* ([[항등원]]의 존재) 임의의 <math>a\in M</math>에 대하여 <math>1\cdot a=a\cdot1=a</math>가 성립하는 원소 <math>1\in M</math>이 존재한다. (만약 이러한 항등원이 존재한다면, 이는 유일하다는 것을 쉽게 보일 수 있다.)

 

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

 

[[범주론]]적으로, 모노이드는 [[집합]]과 [[함수]]의 범주 <math>\operatorname{Set}</math> 속의 [[모노이드 대상]]이다. 또한, 하나의 대상만을 갖는 [[작은 범주]]는 모노이드와 같은 개념이다. 이 경우, 모든 사상은 [[자기 사상]]이며, 모노이드 이항 연산은 [[자기 사상]]의 합성이다.

:임의의 <math>m,n\in M</math>에 대하여, <math>mn=nm</math>

가환 모노이드인 [[군 (수학)|군]]은 [[아벨 군]]이다. 즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

 

=== 멱등 모노이드 ===

유계 [[격자 (순서론)|격자]] <math>(L,\vee,\wedge)</math>의 경우, <math>(L,\vee)</math> 및 <math>(L,\wedge)</math> 둘 다 가환 멱등 모노이드를 이룬다. <math>(L,\wedge)</math>의 항등원은 <math>\bot</math> ([[최소 원소]])이며, <math>(L,\vee)</math>의 항등원은 <math>\top</math> ([[최대 원소]])이다.

 

 

정수 집합의 다음과 같은 부분 집합들은 곱셈에 대하여 가환 모노이드를 이룬다.