데카르트 닫힌 범주: 두 판 사이의 차이
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=== 국소 데카르트 닫힌 범주 ===
:<math>f_!\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y</math>
:<math>f_!\colon g\mapsto f\circ g</math>
가 존재한다. 만약 <math>\mathcal C</math>가 [[유한 완비 범주]]라면 그 [[오른쪽 수반 함자]] (밑 변환 {{llang|en|base change}})
:<math>f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X</math>
:<math>f^*\colon (g\colon A\to Y)\mapsto (g_X\colon A\times_YX\to X)</math>
이 존재한다.
[[유한 완비 범주]] <math>\mathcal C</math>에서 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[유한 완비 범주]]를 '''국소 데카르트 닫힌 범주'''({{llang|en|locally Cartesian closed category}})라고 한다.
* 임의의 대상 <math>X\in\mathcal C</math>에 대하여, [[조각 범주]] <math>\mathcal C/X</math>는 데카르트 닫힌 범주이다.
* 임의의 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, [[조각 범주]] 사이의 [[함자 (수학)|함자]] <math>f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X</math>는 또한 [[오른쪽 수반 함자]] <math>f_*\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y</math>를 갖는다.
[[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>에 대한 [[조각 범주]] <math>\mathcal C/1</math>은 <math>\mathcal C</math>와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.
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=== 국소 데카르트 닫힌 범주의 예 ===
모든 [[토포스]]와 모든 [[준토포스]]는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 특히, [[집합]]과 [[함수]]의 [[토포스]] <math>\operatorname{Set}</math>는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 <math>f\colon X\to I</math>에 대한 의존곱은 함수 <math>\pi\colon E\to X</math>를
:<math>\bigsqcup_{i\in I} \Gamma_{X_i}(E_i)</math>
로 대응시킨다. 여기서
:<math>X_i=f^{-1}(i)</math>
:<math>E_i=(f\circ\pi)^{-1}(i)</math>
이며,
:<math>\Gamma_{X_i}(E_i)=\left\{f\in E^{X_i}\colon\forall x\in X_i\colon \pi(f(x))=x\right\}</math>
는 "단면 집합"이다.
특히, 만약 <math>I</math>가 [[끝 대상]]인 [[한원소 집합]]이라면, <math>f\colon X\to\{\bullet\}</math>에 대한 의존곱은 <math>\pi\colon E\to X</math>를 단면 집합 <math>\Gamma_X(E)</math>으로 대응시킨다.
== 참고 문헌 ==
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