데카르트 닫힌 범주: 두 판 사이의 차이

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:<math>f^*\colon\mathcal C/Y\to\mathcal C/X</math>
:<math>f^*\colon (g\colon A\to Y)\mapsto (g_X\colon A\times_YX\to X)</math>
이 존재한다. <math>f_!</math> 함자를 '''의존합'''(依存合, {{llang|en|dependent sum}})이라고 부른다.
이 존재한다.
 
[[유한 완비 범주]] <math>\mathcal C</math>에서 다음 두 조건이 서로 [[동치]]이며, 이를 만족시키는 [[유한 완비 범주]]를 '''국소 데카르트 닫힌 범주'''({{llang|en|locally Cartesian closed category}})라고 한다.
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[[끝 대상]] <math>1\in\mathcal C</math>에 대한 [[조각 범주]] <math>\mathcal C/1</math>은 <math>\mathcal C</math>와 동형이므로, 모든 (유한 완비) 국소 데카르트 닫힌 범주는 데카르트 닫힌 범주이다.
 
국소 데카르트 닫힌 범주에서, 사상 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여 존재하는 [[오른쪽 수반 함자]] <math>f_*\colon\mathcal C/X\to\mathcal C/Y</math>는 '''의존곱'''(依存-, {{llang|en|dependent product}})이라고 한다. 대략, 사상 <math>\pi \colon E\to X</math>이 주어졌을 때 이를 <math>X</math> 위의 "다발"로 해석하고, "밑공간" <math>X</math> 위의 <math>Y</math>-점에 대하여 그 "올" <math>E_x</math>을 정의할 수 있다. 그렇다면, 의존곱은 이를 다발 <math>E\to X</math>의 "[[단면 (올다발)|단면]]"들의 모임으로 대응시킨다. 이러한 해석은 물론 임의의 범주에서 적용되지 않지만, [[집합]]의 범주나 다른 [[토포스]] 속에서 성립한다.
 
== 예 ==
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=== 국소 데카르트 닫힌 범주의 예 ===
모든 [[토포스]]와 모든 [[준토포스]]는 국소 데카르트 닫힌 범주이다. 특히, [[집합토포스]] [[함수조각 범주]] 역시 [[토포스]]이며, 토포스 <math>\operatorname{Set}mathcal T</math> 국소속의 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수사상 <math>f\colon X\to IY</math>에 대한의하여 의존곱은[[수반 함수 <math>\pi\colon E\to X</math>를함자]]
:<math>f_!\dashv f^*\dashv f_*</math>
가 유도된다. 이는 토포스의 [[본질적 기하학적 사상]]을 이룬다.
 
특히, [[집합]]과 [[함수]]의 [[토포스]] <math>\operatorname{Set}</math>는 국소 데카르트 범주이다. 집합의 범주에서, 함수 <math>f\colon X\to I</math>에 대한 의존곱은 함수 <math>\pi\colon E\to X</math>를
:<math>\bigsqcup_{i\in I} \Gamma_{X_i}(E_i)</math>
로 대응시킨다. 여기서