크리스토펠 기호: 두 판 사이의 차이
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'''크리스토펠 기호'''(Christoffel記號, {{llang|de|Christoffelsymbole}}, {{llang|en|Christoffel symbol}})는 [[레비치비타 접속]]의 성분을 나타내는 기호다. 레비치비타 접속으로 정의된 [[공변 미분]]과 주어진 좌표에 대한 [[편미분]]의 차로 생각할 수 있다. 기호는 그리스 대문자 감마(Γ)다. 간혹 제1종 및 제2종 크리스토펠 기호를 구분하기도 한다. 이름과는 달리, 제2종이 더 근본적인 개념이다.
== 의의 ==
[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>를 생각하자. 그렇다면, <math>\nabla g=0</math>이고 [[꼬임]]이 없는 유일한 [[아핀 접속]] <math>\nabla</math>가 존재한다.
== 정의 ==
[[국소 좌표계]] ''x''<sup>''i''</sup>, (''i'' = 1, 2, ..., ''n'')가 ''n''차원 [[다양체]] ''M''위에 주어지고, 그 [[측도 텐서]]가 <math>g</math>일 때, 그 [[접공간|접벡터]]
▲[[리만 다양체]] <math>(M,g)</math>를 생각하자. 그렇다면, <math>\nabla g=0</math>이고 [[꼬임]]이 없는 유일한 [[아핀 접속]] <math>\nabla</math>가 존재한다. 이를 [[레비치비타 접속]]({{lang|en-GB|Levi-Civita connexion}})이라고 부른다. 이 때, 주어진 국소좌표계에서, '''(제2종) 크리스토펠 기호''' <math>\Gamma^j_{ik}</math>는 다음과 같다. 임의의 벡터장 <math>X^i</math>에 대하여,
:<math>\mathrm{e}_i = \frac{\partial}{\partial x^i}=\partial_i , \quad i=1,2,\dots,n</math>
에 의해 접공간 ''M''의 정의역 각 점에서 국소 좌표계의 [[벡터 공간의 기저|기저]]가 정의된다.
:<math>\Gamma^i_{k\ell}=\frac{1}{2}g^{im} \left(\frac{\partial g_{mk}}{\partial x^\ell} + \frac{\partial g_{m\ell}}{\partial x^k} - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^m} \right)</math>.▼
===제1종 크리스토펠 기호===
'''제1종 크리스토펠 기호'''는 제2종 크리스토펠 기호와 측도로부터 유도되어
:<math>\Gamma_{cab} = g_{cd} \Gamma^{d}{}_{ab}\,,</math>
처럼 정의될 수 있으며, 또는 그 자체로써,
:<math>\Gamma_{cab}
▲
= \frac12\, (g_{ca, b} + g_{cb, a} - g_{ab, c})
= \frac12\, \left(\partial_{b}g_{ca} + \partial_{a}g_{cb} - \partial_{c}g_{ab}\right) \,.
</math>
처럼 정의될 수도 있다<ref name="ludvigsen">{{citation |last1=Ludvigsen |first1=Malcolm||title=General Relativity: A Geometrical Approach | year=1999|page=88}}</ref>.
다른 표기 방법으로
:<math>\Gamma_{cab} = [ab, c].</math>
로 표기하기도 한다.
<ref name="christoffel" >{{citation|title=Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrucke zweiten Grades|last=Christoffel|first=E.B.|author-link=Elwin Bruno Christoffel|journal=Jour. fur die reine und angewandte Mathematik|volume=B. 70|pages=46?70|year=1869|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=GDZPPN002153882&IDDOC=266356}}</ref><ref name="Chatterjee"p114>{{cite book
|first1=U. |last1=Chatterjee
|first2=N. |last2=Chatterjee
|year=2010
|title=Vector and Tensor Analysis
|page=480}}</ref><ref name="dirkstruik">{{cite book
|first1=D.J. |last1=Struik
|title=Lectures on Classical Differential Geometry
|edition=first published in 1988 Dover
|year=1961
|page=114}}</ref>
<math>[ab, c] = [ba, c]</math>라는 점은 주목할 필요가 있다.<ref name="bishopgoldberg" >{{citation | last1=Bishop|first1=R.L.|last2=Goldberg|first2=| title = Tensor Analysis on Manifolds| year=1968|page=241}}</ref>
== 역사 ==
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