"스펙트럼 열"의 두 판 사이의 차이

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그림과 같이, 보통 스펙트럼 열은 주어진 <math>r</math>에 대한 일련의 2차원 행렬들로 형상화한다. 즉, 스펙트럼 열은 "쪽"이 <math>r_0,r_0+1,\dots</math>인 "책"을 이루며, 책의 <math>r\ge r_0</math>번째 쪽에는 <math>(p,q)</math>에 의하여 지표화된 2차원 행렬이 수록되어 있다.
 
=== 수렴수렴과 퇴화 ===
스펙트럼 열 <math>E_r^{p,q}</math>이 주어졌다고 하자. 만약 각 <math>(p,q)</math>에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 정수 <math>r_0(p,q)</math>가 존재한다고 하자.
:<math>d_r^{p-r,q+r+1}=0\qquad\forall r\ge r_0(p,q)</math>
 
=== 5항 완전열 ===
==== 코호몰로지 5항 완전열 ====
수렴하는 스펙트럼 열
:<math>E^{p,q}_2\Rightarrow_p E_\infty^{p+q}</math>
 
이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,
:<math>E_2^{1,0}\cong E_\infty^{1,0}=\frac{F^1E_\infty^1}{F^2E_\infty^1}=F^1E_\infty^1</math>
:<math>\ker d_2^{0,1}\cong E_\infty^{0,2}=\frac{F^0E_\infty^1}{F^1E_\infty^1}=\frac{E_\infty^1/}{F^1E_\infty^1}</math>
:<math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}\cong E_\infty^{2,0}=\frac{F^2E_\infty^2}{F^3E_\infty^2}=F^2E_\infty^2</math>
이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
:<math>0\to E_2^{1,0}\cong F^1E_\infty^1\hookrightarrow E_\infty^1\to \frac{E_\infty^1/}{F^1E_\infty^1}
\cong \ker d_2^{0,1}\hookrightarrow E_2^{0,1}\xrightarrow{d_2^{0,1}} E_2^{2,0} \twoheadrightarrow\operatorname{coker} d_2^{0,1} \cong F^2 E^2_\infty \hookrightarrow E^2_\infty</math>
여기서 <math>\ker d_2^{0,1}</math>와 <math>\operatorname{coker} d_2^{0,1}</math>을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.
 
==== 호몰로지 5항 완전열 ====
마찬가지로, 수렴하는 호몰로지 스펙트럼 열
:<math>E^2_{p,q}\Rightarrow_p E^\infty_{p+q}</math>
이 주어졌고, <math>p<0</math> 또는 <math>q<0</math>이라면 그 성분이 자명하다고 하자. 그렇다면 다음과 같은 '''5항 [[완전열]]'''이 존재한다.
:<math>E_2^\infty \to E_{2,0}^2\to E_{0,1}^2\xrightarrow{\partial^2_{02,10}} E_{0,1}^2\to E_1^\infty \to E_{1,0}^2\to 0</math>
이는 구체적으로 다음과 같다. 스펙트럼 열의 성분들이 오직 제1사분면에서만 자명하지 않으므로,
:<math>E^2_{1,0}\cong E^\infty_{1,0}=\frac{F_1E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}=\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}</math>
:<math>\ker\partial^2_{2,0}\cong E_{2,0}^\infty =\frac{F_2E^\infty_2}{F_1E^\infty_2} =\frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}</math>
:<math>\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong E_{0,1}^\infty=\frac{F_0E_\infty^2}{F_{-1}E_\infty^2}=F_0E_\infty^2</math>
이다. 따라서, 다음과 같은 열을 적을 수 있다.
:<math>E_2^\infty \twoheadrightarrow \frac{E^\infty_2}{F_1E^\infty_2}\cong\ker\partial^2_{2,0}
\hookrightarrow E_{2,0}^2\xrightarrow{\partial^2_{2,0}} E_{0,1}^2\twoheadrightarrow\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}\cong F_0E_1^\infty\hookrightarrow E_1^\infty \twoheadrightarrow\frac{E_1^\infty}{F_0E_1^\infty}\cong E_{1,0}^2\to 0</math>
여기서 <math>\ker\partial^2_{2,0}</math>와 <math>\operatorname{coker}\partial^2_{2,0}</math>을 생략하면 5항 완전열을 얻는다.
 
== 구성 ==