뱀 완전열: 두 판 사이의 차이
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:[[File:Snake lemma origin.svg]]
여기에서 각 행은 [[완전열]]이며 0은 [[영 대상]]이다. '''뱀 보조정리'''에 따르면,<ref name="Weibel">{{서적 인용|성=Weibel|이름= Charles A.|날짜=1994|제목=An introduction to homological algebra|url=http://www.math.rutgers.edu/~weibel/Hbook-corrections.html|총서=Cambridge Studies in Advanced Mathematics |권=38|출판사=Cambridge University Press|isbn=978-0-52143500-0|oclc=36131259|mr=1269324|zbl=0797.18001|doi=10.1017/CBO9781139644136|언어=en}}</ref>{{rp|11, Lemma 1.3.2}} 다음과 같이 a, b, c의 [[핵 (수학)|핵]]과 [[여핵]]들로 이루어진 완전열이 존재한다.
:<math>0\to\ker a\to\ker b\to\ker c\xrightarrow d\operatorname{coker}a\to\operatorname{coker}b\to\operatorname{coker}c\to0</math>
즉, 다음과 같은 그림이 된다.
:[[파일:Snake lemma complete.svg]]
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* 만약 각 열이 [[짧은 완전열]]이며, 처음과 마지막 행이 [[짧은 완전열]]이며, 또한 가운데 행 <math>0\to A\to B\to C\to0</math>에서 <math>A\to C</math>가 [[영 사상]]이라면, 가운데 행은 [[짧은 완전열]]이다.
또한, 마찬가지로 3×3 대신 임의의 자연수 <math>n</math>에 대하여 <math>n\times n</math> 그림에 대한 '''<math>n^2</math>항 보조정리'''가 성립한다. (1×1 및 2×2인 경우는 물론 자명하게 참이다.)
=== 지그재그 보조정리 ===
'''지그재그 보조정리'''({{llang|en|zigzag lemma}})는 [[사슬 복합체]]들의 [[짧은 완전열]]로부터 그 [[호몰로지 군]]들의 [[긴 완전열]]의 존재를 유추하는 [[보조정리]]이다. 구체적으로, [[아벨 범주]]에서, [[사슬 복합체]] <math>A_\bullet</math>, <math>B_\bullet</math>, <math>C_\bullet</math>가 주어졌다고 하고, 이들이 다음과 같은 [[짧은 완전열]]을 이룬다고 하자.
:<math>0\to A_\bullet\xrightarrow\alpha B_\bullet\xrightarrow\beta C_\bullet\to0</math>
'''지그재그 보조정리'''에 따르면, 다음과 같은 [[긴 완전열]]이 존재한다.
:<math>\cdots\to\operatorname H_{n+1}(C)\to\operatorname H_n(A)\xrightarrow{\alpha_*}\operatorname H_n(B)\xrightarrow{\beta_*}\operatorname H_n(C)\to H_{n-1}(A)\to\cdots</math>
지그재그 보조정리 역시 뱀 보조정리의 특수한 경우이다.<ref name="Weibel"/>{{rp|13–14}} 구체적으로, 다음과 같은 가환 그림을 생각하자.
:<math>
\begin{matrix}
&\ker\partial_n^A&&\ker\partial_n^B&&\ker\partial_n^C\\
&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
0\to&A_n &\to& B_n&\to&C_n&\to0\\
&{\scriptstyle\partial_n^A}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^B}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^C}\downarrow\\
0\to&A_{n-1}&\to& B_{n-1}&\to&C_{n-1}&\to0\\
&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow\\
&\operatorname{coker}\partial_n^A&&\operatorname{coker}\partial_n^B&&\operatorname{coker}\partial_n^C\\
\end{matrix}</math>
뱀 보조정리에 따라서, 다음 두 행들은 [[완전열]]을 이룬다.
:<math>0\to\ker\partial_n^A\to\ker\partial_n^B\to\ker\partial_n^C</math>
:<math>\operatorname{coker}\partial_n^A\to\operatorname{coker}\partial_n^B\to\operatorname{coker}\partial_n^C\to0</math>
따라서, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.
:<math>
\begin{matrix}
&\operatorname{coker}\partial_{n-1}^A&\to&\operatorname{coker}\partial_{n-1}^B&\to&\operatorname{coker}\partial_{n-1}^C&\to0\\
&{\scriptstyle\partial_n^A}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^B}\downarrow&&{\scriptstyle\partial_n^C}\downarrow\\
0\to&\ker\partial_n^A&\to&\ker\partial_n^B&\to&\ker\partial_n^C
\end{matrix}
</math>
이 그림에서 각 열의 핵과 여핵은 각각 [[호몰로지]] <math>\operatorname H_{n-1}(-)</math>와 <math>\operatorname H_n(-)</math>이다. 따라서, 여기에 뱀 보조정리를 다시 한 번 더 적용하면, 다음과 같은 지그재그 보조정리의 연결 사상을 얻는다.
:<math>\cdots\to\operatorname H_{n-1}(A)\to\operatorname H_{n-1}(B)\to \operatorname H_{n-1}(C)\to \operatorname H_n(A)\to\operatorname H_n(B)\to\operatorname H_n(C)\to\cdots</math>
== 응용 ==
[[대수적 위상수학]]에서 쓰이는 [[마이어-피토리스 열]]이나 [[복시테인 준동형]]은 뱀 보조정리 또는 지그재그 보조정리에 의하여 만들어지는 연결 사상으로 구성된다.
== 역사 ==
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* {{매스월드|id=ConnectingHomomorphism|title=Connecting homomorphism}}
* {{매스월드|id=NineLemma|title=Nine lemma}}
* {{매스월드|id=Zig-ZagLemma|title=Zig-zag lemma}}
* {{nlab|id=snake lemma|title=Snake lemma}}
* {{nlab|id=connecting homomorphism}}
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