벡터화

수학에서, 특히 선형대수와 행렬 이론에서, 행렬의 선형화는 행렬을 세로 벡터로 바꾸는 선형변환의 하나이다. m×n행렬 A의 선형화는 vec(A)로 표기하며, 행렬 A의 열을 다음 열 위에 쌓아가며 얻을 수 있다. $\mathrm {vec} (A)=[a_{1,1},\ldots ,a_{m,1},a_{1,2},\ldots ,a_{m,2},\ldots ,a_{1,n},\ldots ,a_{m,n}]^{T}$ $a_{i,j}$는 행렬 $A$의 $(i,j)$ 성분을 나타내며, $^{T}$는 전치행렬을 나타낸다. 벡터화는 (행렬과 벡터의)벡터 공간 사이의 동형 사상 $\mathbf {R} ^{m\times n}:=\mathbf {R} ^{m}\otimes \mathbf {R} ^{n}\cong \mathbf {R} ^{mn}$을 나타낸다.

예를 들어, 2×2 행렬 $A$ = ${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$를 벡터화하면$\mathrm {vec} (A)={\begin{bmatrix}a\\c\\b\\d\end{bmatrix}}$가 된다.

크로네커 곱과의 호환성

${\mbox{vec}}(ABC)=(C^{T}\otimes A){\mbox{vec}}(B)$ ${\mbox{vec}}(ABC)=(I_{n}\otimes AB){\mbox{vec}}(C)=(C^{T}B^{T}\otimes I_{k}){\mbox{vec}}(A)$ ${\mbox{vec}}(AB)=(I_{m}\otimes A){\mbox{vec}}(B)=(B^{T}\otimes I_{k}){\mbox{vec}}(A)$

하다마드 곱과의 호환성

vec(A $\circ$ B) = vec(A) $\circ$ vec(B).

내적과의 호환성

tr(A^* B) = vec(A)^* vec(B)

관련 항목

• 행렬화

참고 문헌

• Jan R. Magnus and Heinz Neudecker (1999), Matrix Differential Calculus with Applications in Statistics and Econometrics, 2nd Ed., Wiley. ISBN 0-471-98633-X.
• Jan R. Magnus (1988), Linear Structures, Oxford University Press. ISBN 0-85264-299-7.