아벨-디니-프링스하임 판정법: 두 판 사이의 차이
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이 경우 <math>r</math> 이 <math>1</math> 인 경우만 증명하면 [[비교 판정법]]에 의하여 나머지는 자명하다. 이를 가정하자. 그리고 임의의 <math>n</math> 번째 항부터 <math>n + k</math> 번째 항까지를 나열하면,
:<math>1 - \frac{S_{n}}{S_{n+k}} = \frac{a_{n+1} + a_{n+2} + ... + a_{n+k}}{S_{n+k}} \le b_{n+1} + b_{n+2} + ... + b_{n+k}</math>
와 같이 된다. 그런데 가정에 의하여 <math>S_n</math> 은 <math>n</math> 이 증가함에 따라 계속해서 무한대까지 증가하므로, <math>S_n</math> 항을 고정하면 <math>\frac{S_{n}}{S_{n+k}}</math>이 <math>\frac{1}{2}</math> 보다 작도록 <math>n</math>에 대한 <math>k_n</math> 을 잡을 수 있다. 따라서 이 때,
:<math>b_{n+1} + b_{n+2} + ... + b_{n+k_n} \geq \frac{1}{2}</math>
이 성립한다. 이 조건은 [[코시의 수렴판정법]]에 어긋난다. 왜냐하면 이 판정법에 의하면, 어떤 무한급수가 수렴하기 위한 필요충분조건은 임의의 수 <math>\epsilon</math> 에 대해 적당한 <math>n</math> 이 존재하여 이 항부터 임의의 길이로 잡은 항들의 합이 항상 <math>\epsilon</math> 보다 작게 되어야 하기 때문이다. 그런데 위 부등식이 성립하면, <math>\epsilon</math> 이 <math>\frac{1}{2}</math>보다 같거나 작게 잡으면 이 조건이 성립하지 않는다. 따라서 이 급수는 발산한다.
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