합곱: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
→바깥 고리: 봇: 인용 틀 변수 이름 수정 |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
9번째 줄:
:<math>c \smile d\colon\sigma \mapsto c(\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}) \cdot d(\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q})</math>
여기서
:<math>\iota_S\colon\Delta^{
(<math>S \subset \{0,1,...,p+q \} </math>)는 꼭짓점들이 <math>\{0,1,\dots,p+q\}</math>인 <math>p+q</math>차원 [[단체 (수학)|표준 단체]]를, <math>S</math>에 속하는 꼭짓점들만을 갖는 부분 표준 단체로 국한시키는 [[함수]]이다.
18번째 줄:
:<math>\smile\colon H^p(X;R)\times H^q(X;R)\to H^{p+q}(X;R)</math>
이 존재하게 된다. 이를 곱으로 삼으면, 코호몰로지 군 <math>H^\bullet(X;R)</math>는 [[등급환]]을 이룬다.
=== 텐서곱 ===
두 [[위상 공간 (수학)|위상 공간]] <math>X,Y</math> 및 [[가환환]] <math>R</math> 위의 가군 <math>M</math>, <math>N</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, [[특이 쌍대사슬]]에 대한 다음과 같은 사상이 존재한다.
:<math>\otimes_R\colon C^p(X;M)\times C^q(Y;N)\to C^{p+q}(X\times Y;M\otimes_R N)</math>
:<math>c \otimes_R d\colon\sigma \mapsto c\left(\operatorname{proj}^{X\times Y}_X\circ\sigma \circ \iota_{0,1, ... p}\right) \otimes_R d\left(\operatorname{proj}^{X\times Y}_Y\circ\sigma \circ \iota_{p, p+1 ,..., p + q}\right) \in M\otimes_RN</math>
여기서
:<math>\operatorname{proj}^{X\times Y}_X\colon X\times Y\to X</math>
:<math>\operatorname{proj}^{X\times Y}_Y\colon X\times Y\to Y</math>
는 [[곱공간]]의 사영 사상이다.
이 역시 쌍대경계와 호환되어, 코호몰로지류의 '''텐서곱'''
:<math>\otimes_R\colon \operatorname H^p(X;M)\times\operatorname H^q(Y;N)\to\operatorname H^{p+q}(X\times Y;M\otimes_RN)</math>
을 정의할 수 있다. 만약 <math>M=N=R</math>라면, <math>R\otimes_R=R</math>이므로 이는
:<math>\otimes_R\colon \operatorname H^p(X;M)\times\operatorname H^q(Y;N)\to\operatorname H^{p+q}(X\times Y;R)</math>
이다. 이 사상은 [[퀴네트 정리]]에 등장하는 사상과 같다.
== 성질 ==
줄 28 ⟶ 42:
:<math>f^*(\alpha \smile \beta) =f^*(\alpha) \smile f^*(\beta),</math>
즉, <math>f^*</math>는 [[등급환]]의 [[준동형]]을 이룬다.
=== 합곱과 텐서곱의 관계 ===
위상 공간 <math>X</math> 및 [[가환환]] <math>R</math> 위의 [[가군]] <Math>M</math>, <math>N</math>이 주어졌다고 하자. 그렇다면, 대각 사상
:<math>\operatorname{diag}_X\colon X\to X^2</math>
이 존재한다. 그렇다면, 텐서곱의 대각 사상에 대한 [[당김]]
:<math>\operatorname{diag}_X^*(-\otimes_R-)\colon \operatorname H^p(X;M)\times\operatorname H^q(X;N)\to\operatorname H^{p+q}(X;M\otimes_RN)</math>
이 존재한다. 만약 <math>M=N=R</math>라면, 이는 합곱 <math>\smile</math>과 일치한다.
== 역사 ==
| |||