아벨 군: 두 판 사이의 차이

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85번째 줄:
| 꼬임 없는 가군
|-
| [[단사 가군]] || [[분해가능군나눗셈군]]
|-
| [[유한 생성 가군]] || 유한 생성 아벨 군
121번째 줄:
 
=== 호몰로지 대수학적 성질 ===
아벨 군을 [[정수환]] 위의 가군으로 간주하였을 때, [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이며, [[단사 가군]]은 [[분해가능군나눗셈군]]이다.
 
임의의 아벨 군 <math>G</math>는 [[자유 아벨 군]] <math>F</math>의 [[몫군]] <math>F/N</math>으로 나타낼 수 있다.
128번째 줄:
* <math>G</math>가 [[자유 아벨 군]]일 경우, <math>\operatorname{pd}_{\mathbb Z}G=0</math>
* <math>G</math>가 [[자유 아벨 군]]이 아닐 경우, <math>\operatorname{pd}_{\mathbb Z}G=1</math>
마찬가지로, 임의의 아벨 군 <math>G</math>은 어떤 [[분해가능군나눗셈군]] <math>D</math>의 부분군으로 나타낼 수 있다.
:<math>0\to G\to D\to Q</math>
또한, 분해가능군의나눗셈군의 [[몫군]]은 역시 분해가능군이므로나눗셈군이므로, 이는 길이가 1인 단사 분해를 이룬다. 따라서, 아벨 군 <math>G</math>의 [[단사 차원]]은 다음과 같다.
* <math>G</math>가 [[분해가능군나눗셈군]]일 경우, <math>\operatorname{id}_{\mathbb Z}G=0</math>
* <math>G</math>가 [[분해가능군나눗셈군]]이 아닐 경우, <math>\operatorname{id}_{\mathbb Z}G=1</math>
 
=== 범주론적 성질 ===
164번째 줄:
|-
! [[단사 대상]]
| [[분해가능군나눗셈군]]
|-
! [[사영 대상]]
| [[자유 아벨 군]]
|}
다시 말해, [[정수환]] 위의 [[단사 가군]]은 [[분해가능군나눗셈군]]이며, [[정수환]] 위의 [[사영 가군]]은 [[자유 아벨 군]]이다.
 
아벨 군의 [[아벨 범주]]이며, 따라서 다음 성질들이 성립한다.
200번째 줄:
* 유한 생성 아벨 군은 완전히 분류되었다. 즉, 모든 유한 생성 아벨 군은 그 계수 및 [[꼬임 부분군]]에 의하여 완전히 분류된다.
* [[꼬임 부분군]]이 없는 계수 1의 아벨 군 역시 완전히 분류되었다.
* [[분해가능군나눗셈군]] 역시 완전히 분류되었다.
 
=== 아벨 유한군의 분류 ===