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===응용 예제===
묘사를 하기 위하여구체적인 예를 들면 출판물에서의 문서들과 같이 위하여 많은 분량의 텍스트를 가지고 있다고 가정하라. 이 문서들이 평균 1000글자 길이로 200 글자의 [[표준편차]] 를 가진다는 것을 우리가 알고 있다고 가정하라. 체비쇼프의 부등식으로부터 우리는 최소한 문서들의 75%의 길이가
600개와 1400 글자들 (''k'' = 2) 사이라는 것을 추론할 수 있다
==Variant변형: One-sided Chebyshev체비쇼프 inequality부등식==
A one-tailed variant with ''k'' > 0, is
:<math>\Pr(X-\mu \geq k\sigma)\leq\frac{1}{1+k^2}.</math>
체비쇼프 부등식의 one-sided version 은 칸텔리 부등식이라 불리며 [[Francesco Paolo Cantelli]] 으로부터 기인한다.
A stronger result applicable to [[unimodal probability distributions]] is the [[Vysochanskiï-Petunin inequality]].
==증명==
==Distribution for which equality holds==
===Measure-theoretic proof증명=== ▼
Let ''A''<sub>''t''</sub> 가 be defined as ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' ∈ ''X'' | ''f''(''x'') ≥ ''t''} , and로 let정의된다고 가정하고, :<math>1_{A_t}</math>▼For the discrete distribution with point masses at −1 and +1, each with weight 1/(2''k''<sup>2</sup>), and a point mass at 0 with weight 1 − 1/''k''<sup>2</sup>, equality holds exactly. The standard deviation of this distribution is 1/''k'', and for this distribution,
가 ''A''<sub>''t''</sub> 집합의 [[indicator function]] 라고 가정하자. 그렇다면, 다음을 확인하는 것은 쉬운일이다
:<math>\mathrm{Pr}\left(\left|X-\mu\right| \ge k\sigma\right) = 1/k^2</math>
Equality holds exactly for any distribution that is a linear transformation of this one. Inequality holds for any distribution that is not a linear transformation of this one.
==Proof==
▲===Measure-theoretic proof===
▲Let ''A''<sub>''t''</sub> be defined as ''A''<sub>''t''</sub> = {''x'' ∈ ''X'' | ''f''(''x'') ≥ ''t''}, and let
:<math>1_{A_t}</math>
be the [[indicator function]] of the set ''A''<sub>''t''</sub>. Then, it is easy to check that
:<math>0\leq g(t)1_{A_t}\leq g\circ f\,1_{A_t}\leq g\circ f,</math>
그러므로,
and therefore,
:<math>g(t)\mu(A_t)=\int_X g(t)1_{A_t}\,d\mu\leq\int_{A_t} g\circ f\,d\mu\leq\int_X g\circ f\,d\mu.</math>
원하는 부등식은 위의 부등식을 ''g''(''t'') 로 나눔으로써 따르게 된다.
The desired inequality follows from dividing the above inequality by ''g''(''t'').
===Probabilistic확률론적 proof증명===
[[Markov's inequality]] states은 that그 for어떠한 any실수값을 real-valued지닌 random variable변수 ''Y'' and와 any그 positive어떠한 number양수 ''a'', we에 have대하여, Pr(|''Y''| > ''a'') ≤ E(|''Y''|)/''a''. One라고 way선언한다. to체비쇼프 prove부딩식을 Chebyshev's증명하는 inequality is to apply Markov's한 inequality방법은 to마코프 the부등식을 random variable변수 ''Y'' = (''X'' − μ)<sup>2</sup> with에 ''a'' = (σ''k'')<sup>2</sup> 로 적용하는 것이다.
It이는 can또한 also직접적으로 be proved증명이 directly가능하다. For그 any어떠한 event이벤트 ''A'',에 let대하여, ''I''<sub>''A''</sub> 를 be the of ''A''의 indicator random variable of이라고 ''A''가정하자, i.e.즉 ''I''<sub>''A''</sub> equals 1은 if만약 ''A''가 occurs발생하면 and1이고 0아니면 otherwise0이다. Then그렇다면
::<math>\Pr(|X-\mu| \geq k\sigma) = \operatorname{E}(I_{|X-\mu| \geq k\sigma})
= {1 \over k^2} {\operatorname{E}((X-\mu)^2) \over \sigma^2} = {1 \over k^2}.</math>
The이 direct직접 proof증명은 shows왜 why한계가 the일반적 bounds경우에서 are매우 quite느슨한지를 loose in typical cases보여준다: the"≥" number의 1좌측에 to있는 the숫자 left of1은 "≥" is의 replaced by우측의 [(''X'' − μ)/(''k''σ)]<sup>2</sup> to의 the값이 right1을 of초과할 "≥"때마다 whenever이 the값으로 latter exceeds 1교체된다. In some cases it어떤 exceeds경우에는 1매우 by넓은 a차이를 very두고 wide1을 margin초과한다.
==더 보기==
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