체비쇼프 부등식: 두 판 사이의 차이

이 부등식은 [[측도]] 를 사용하여 상당히 일반적으로 선언될나타낼 수 있다; 그렇다면 확률론의 언어에서언어로 이나타낸 선언문은식은 측량측도 1의 공간을 위한 특정 사례로써 따르게 된다.

===측량론에측도론에 따른 정의===

Let[[측도 공간]] (''X'',Σ,μ) 가 [[measure space]] 라 가정하고와, and let ''f'' 가 ''X'' 상에 정의된 [[extended확장된 real number line|extended real실수]]-valued값을 갖고 [[measurable잴 수 있는 function함수]] 이라''f''가 있다고 가정한다하자. 그렇다면 그 어떠한어떤 실수 ''t'' > 00에 는,대해서도 다음 부등식이 성립한다:

좀 더 일반적으로, 만약 ''g'' 가 음수가 아닌 extended확장된 real-valued실수값을 measurable갖고 잴 수 있는 함수이며, ''f''의 범위에서 감소하지 않는다면,

그렇다면 위의 정의는 ''g''(''t'') 를

:<math>g(t)=\begin{cases}t^2&\mbox{if } \ t\geq0\\0&\mbox{otherwise,}\end{cases}</math>

''k'' > 1 의1인 경우에만 의미있는 정보를 제공한다.

예제에서처럼, using ''k''=√2 를√2를 사용하는 것은 값들의 최소한 절반이 (μ − √2 σ, μ + √2 σ) 의 범위에 놓여있다는 것을 보여준다.

보통, 이 법칙은 비교적 느슨한 한계를 제공할 것이다. 그러나, 체비쇼프의 부등식에 의하여 제공되는 한계는 일반적으로 (임의의 분포의 변수들에게는 여전히 유효한 상태로 남아있다) 더 향상될 수 없다. 예를 들면, 그 어떠한 for any ''k''&nbsp;>&nbsp;1 에 대하여대해서도, 다음 예제는 (여기서 σ&nbsp;=&nbsp;1/''k'') 한계에 정확히 들어맞는다.

이 법칙은 느슨한 한계에도 불구하고 유용할 수 있는데, 그 이유는 이 법칙이 그 어떠한 분포의 random확률변수에 값들에대해서도 적용되기 때문이며 distribution 에분포에 관하여 mean 와 variance평균과 이분산 외에이외에 대하여서대하여 아는 바가 없을 때에도 이러한 한계들이 계산될 수 있기 때문이다.

체비쇼프의 부등식은 [[law큰 of수의 large numbers법칙|weak큰 law수의 of약한 large numbers법칙]] 를을 증명하기 위하여 사용된다.

구체적인 예를 들면, 출판물에서의 문서들과 같이 위하여 많은 분량의 텍스트를 가지고 있다고 가정하라가정하자. 이 문서들이 평균 1000글자1000 글자 길이로 200 글자의 [[표준편차]] 를 가진다는 것을 우리가 알고 있다고 가정하라가정하자. 체비쇼프의 부등식으로부터 우리는 최소한모든 문서들의문서 중 최소한 75%의는 길이가 600에서 1400 글자 (''k'' = 2) 사이라는 것을 추론할 수 있다.