교집합: 두 판 사이의 차이
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[[그림:Venn A intersect B.svg|섬네일|250px|오른쪽|집합 ''A''와 ''B''의 교집합을 표현한 [[벤 다이어그램]].]]
[[집합론]]에서 두 [[집합]] ''A'', ''B''의 '''교집합'''(交集合, {{llang|en|intersection}}) {{개행 금지|''A'' ∩ ''B''}}은 그 두 집합이 공통으로 포함하는 원소로 이루어진 집합이다. 예를 들어, [[직각삼각형]]의 집합과 [[이등변삼각형]]의 집합의 교집합은 [[직각이등변삼각형]]의 집합이다.
두 집합의 교집합에 항상 원소가 존재하는 것은 아니다. 서로 배치하는 대상들이 이루는 두 집합에 교집합을 취하면 아무 원소도 남지 않게 된다. [[짝수]]와 [[홀수]]의 교집합이 [[공집합]]인 것이 그 예이다. ([[서로소 집합]] 참고)
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셋 이상의 집합, 나아가 무한히 많은 집합들에게도 교집합을 취할 수 있다. 집합 여럿의 교집합은 동시에 모든 집합의 원소인 대상들을 모아놓은 집합과 같다.
집합을 공리화한 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서, 두 집합, 또는 (어떤 한 [[집합족|집합]]에 원소로 포함된) 임의로 많은 집합들의 교집합의 존재성은 [[분류 공리꼴]]에 의해, 유일성은 [[확장 공리]]에 의해 보장된다.
==
두 집합 ''A'', ''B''의 교집합은 ''A'' ∩ ''B''라 표기되며, ''A''에도 속하고 ''B''에도 속하는 원소들을 골라놓은 집합을 뜻한다. 즉
:<math>A \cap B = \{x : x \in A\ \wedge\ x \in B\}</math> ('∧'는 '또한'을 뜻한다)
또는 (임의의 ''x''에 대해)
2의 [[배수]]([[짝수]])와 3의 배수의 집합의 교집합은 6의 배수의 집합이다. -->▼
:''x'' ∈ ''A'' ∩ ''B''일 필요충분조건은 ''x'' ∈ ''A'' 또한 ''x'' ∈ ''B''
아래는 두 집합의 교집합의 예이다.
* 두 집합 {{개행 금지|{1, 2<nowiki>}</nowiki>}}, {{개행 금지|{2, 3<nowiki>}</nowiki>}}의 교집합은 {2}이다.
* [[서로소 집합|서로소]]인 두 집합, 이를테면 [[유리수]], [[무리수]] 집합의 교집합은 [[공집합]]이다.
== 여럿의 교집합 ==
(유한 개, [[가산 집합|가산]] 개를 포함한) 임의의 개수의 집합의 교집합은 그들 모두에 동시에 속하는 원소들로 이루어진 집합이다. 여러 개의 집합, 예를 들어 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'', ''E''의 교집합은 그들 사이사이에 교집합 기호를 써 표시한다.
:<math>A \cup B \cup C \cup D \cup E</math>
각각의 집합에 [[첨수]](예를 들어 양의 정수 1, 2, ...)를 부여해 대형 연산자를 통해 나타내는 방법도 있다. 예를 들어
:<math>\bigcap_{i = 1}^5 A_i,\qquad \bigcap_{i = 1}^{\infty} B_i,\qquad \bigcap_{i \in I} C_i</math>
는 각각 ''A''<sub>1</sub>, ''A''<sub>2</sub>, ''A''<sub>3</sub>, ''A''<sub>4</sub>, ''A''<sub>5</sub>의 교집합, ''B''<sub>1</sub>, ''B''<sub>2</sub>, ...의 교집합, ''C<sub>i</sub>'' (''i'' ∈ ''I'', ''I''는 [[첨수집합]])의 교집합을 나타낸다. 이때
:<math>x \in \bigcap_{i \in I} C_i\ \Longleftrightarrow\ \forall i\in I,\ x \in C_i</math>
가 성립한다.
만약 <math>\mathcal{M}</math>이 공집합아닌 집합이며, 집합을 원소로 한다면, <math>\mathcal{M}</math>의 교집합 <math>\bigcap \mathcal{M}</math>('''임의의 교집합''' {{llang|en|arbitrary intersection}})은 <math>\mathcal{M}</math>의 모든 원소에 동시에 속하는 대상으로 이루어진 집합이다. 즉
:<math>x \in \bigcap \mathcal{M}\ \iff\ \forall A \in \mathcal{M},\ x \in A</math><!--
== 공리적 집합론 == -->
== 같이 보기 ==
* [[논리곱]]
* [[서로소 집합]]
{{토막글|수학}}
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