호모토피 동치: 두 판 사이의 차이
내용 삭제됨 내용 추가됨
Osteologia (토론 | 기여) |
Osteologia (토론 | 기여) 편집 요약 없음 |
||
7번째 줄:
* <math>g\circ f\simeq\operatorname{id}_Y</math>
여기서 <math>\simeq</math>는 같은 [[정의역]]과 [[공역]]을 갖는 두 [[연속 함수]]의 [[호모토픽]] 관계이다.
두 위상 공간 사이에 호모토피 동치가 존재하는지 여부는 위상 공간의 [[동치 관계]]를 이룬다. 호모토피 동치 관계에 대한 동치류를 '''호모토피 유형'''(homotopy類型, {{llang|en|homotopy type}})이라고 한다. 서로 [[위상 동형]]인 두 위상 공간은 서로 호모토피 동치이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.▼
=== 약한 호모토피 동치 ===
위상 공간 <math>X</math>, <math>Y</math> 사이의 [[연속 함수]] <math>f\colon X\to Y</math>가 다음 조건을 만족시킨다면, <math>f</math>가 '''약한 호모토피 동치'''(弱-homotopy同値, {{llang|en|weak homotopy equivalence}})라고 한다.
* 임의의 <math>x\in X</math> 및 모든 <math>n\ge1</math>에 대하여, <math>f</math>로부터 유도되는 [[호모토피 군]]의 [[군 준동형]] <math>f_*\colon\pi_n(X,x)\to\pi_n(Y,f(x))</math>는 모두 군의 동형이다.
약한 호모토피 동치의 존재는 [[반사 관계]]이자 [[추이적 관계]]이지만, [[대칭 관계]]가 아니므로 [[동치 관계]]가 아니다. 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간 사이에는 항상 약한 호모토피 동치가 존재하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.▼
== 성질 ==
다음과 같은 포함 관계가 성립한다.
:[[항등 함수]] ⊊ [[위상 동형]] ⊊ 호모토피 동치 ⊊ 약한 호모토피 동치 ⊊ [[연속 함수]]
호모토피 동치에 대하여 다음이 성립한다.
* 모든 [[위상 동형 사상]]은 항상 호모토피 동치이다.
* (합성에 대한 닫힘) 두 호모토피 동치 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math>의 [[함수의 합성|합성]] <math>g\circ f</math> 역시 호모토피 동치이다.
* 호모토피 동치 <math>f\colon X\to Y</math>에 대하여, <math>g\circ f\simeq\operatorname{id}_X</math>이자 <math>f\circ g\simeq\operatorname{id}_Y</math>인 호모토피 동치 <math>g\colon Y\to Z</math>가 존재한다.
▲따라서, 두 위상 공간 사이에 호모토피 동치가 존재하는지 여부는 [[위상
약한 호모토피 동치에 대하여 다음이 성립한다.
* 모든 호모토피 동치는 항상 약한 호모토피 동치이다.
* (3개 가운데 2개 성질 {{llang|en|two out of three property}}) 연속 함수 <math>f\colon X\to Y</math>, <math>g\colon Y\to Z</math> 가 주어졌으며, <math>\{f,g,g\circ f\}</math> 가운데 2개가 약한 호모토피 동치를 이룬다면, 3개 모두 약한 호모토피 동치를 이룬다. (특히, 약한 호모토피 동치는 [[함수의 합성]]에 대하여 닫혀 있다.)
* (6개 가운데 2개 성질 {{llang|en|two out of six property}}) 세 연속 함수 <math>X\xrightarrow fY\xrightarrow gZ\xrightarrow hW</math>가 주여졌으며, 만약 <math>g\circ f</math> 및 <math>h\circ g</math>가 약한 호모토피 동치라면, <math>f</math>와 <math>g</math>와 <math>h</math>와 <math>h\circ g\circ f</math> 역시 약한 호모토피 동치이다.
▲약한 호모토피 동치의 존재는 [[반사 관계]]이자 [[추이적 관계]]이지만, [[대칭 관계]]가 아니므로 [[동치 관계]]가 아니다. 서로 호모토피 동치인 두 위상 공간 사이에는 항상 약한 호모토피 동치가 존재하지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다.
=== 화이트헤드 정리 ===
{{본문|화이트헤드 정리}}
'''[[화이트헤드 정리]]'''에 따르면, 두 [[연결 공간|연결]] [[CW 복합체]] 사이에 만약 약한 호모토피 동치가 존재한다면, 이들 사이에는 호모토피 동치가 존재한다. 즉, [[CW 복합체]]의 경우 호모토피 유형을 약한 호모토피 동치로서 계산할 수 있다.
줄 34 ⟶ 48:
* {{nlab|id=Whitehead theorem}}
* {{nlab|id=m-cofibrant space}}
* {{nlab|id=two-out-of-three|title=Two-out-of-three}}
* {{nlab|id=two-out-of-six property|title=Two-out-of-six property}}
[[분류:호모토피 이론]]
| |||