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{{수}}
 
[[수학]]에서 '''실수'''(實數, {{llang|en|real number}})는 [[실직선]] 상의 점, 또는 [[십진법]] 전개로 주로 표현되는 수 체계이다. [[정수]]의-1, [[비0, {{수직 (수학)분수|비]]인2}} [[유리수]]와루트 그렇지 않은 [[무리수2|{{수학|{{루트|2}}}}]]로 나뉘며, ''[[다항식]]의 [[근e (수학상수)|e]]인 [[대수적 수]]와 그렇지 않은 [[초월수]]로도 나뉜다. 실수는 [[복소평면]]의 일부로 볼 수 있으며'', 이때 [[허수원주율|π]] 함께등은 [[복소수]]를모두 이룬다실수이다.
 
실수에게 [[사칙연산]], 즉 [[덧셈]], [[뺄셈]], [[곱셈]], [[나눗셈]]을 행할 수 있다. 실수 사이에는 [[부등식|크기 비교]]가 가능한데, 실직선에서 더 왼쪽에 있는 수가 오른쪽에 있는 수보다 작다. 특별히 실수를 0과 비교하여, 그보다 큰 [[양수 (수학)|양수]], 그보다 작은 [[음수]]로 나누는 것은 실수의 한 분류법이다.
실수는 공리적으로 (동형 의미 하에) 유일한 [[완비 거리 공간|완비]] [[전순서|순서]][[체 (수학)|체]]로 정의된다. 유리수 [[코시 열]]의 [[동치류]], [[데데킨트 절단]], 또는 십진법 전개의 동치류 등으로서 실수를 구성할 수도 있다.
 
[[정수]]의 [[비 (수학)|비]]인 [[유리수]]와 그렇지 않은 [[무리수]]로도 나뉘며, 정수 계수 [[다항식]]의 [[근 (수학)|근]]인 [[대수적 수]]와 그렇지 않은 [[초월수]]로도 나뉜다. 실직선은 [[복소평면]]의 일부로 볼 수 있으며, 이때 실수는 [[허수]]와 함께 [[복소수]]를 이룬다.
 
실수는 공리적으로 ([[동형]] 의미 하에) 유일한 [[완비 거리 공간|완비]] [[전순서|순서]][[체 (수학)|체]]로 정의된다. 유리수 [[코시 열]]의 [[동치류]], [[데데킨트 절단]], 또는 십진법 전개의 동치류전개식 등으로서 실수를 구성할 수도 있다. [[실수의 완비성]]([[상계와 하계|상계]]가 있는 실수의 비지 않은 [[부분집합]]에 항상 [[상한과 하한|상한]]이 존재한다는 성질)은 유리수와 구별되는 중요한 성질이다.
 
== 역사 ==
실수에 대한 엄밀한 정의는 [[게오르크 칸토어]]에 의해 이루어졌다. 유리수로부터 실수를 이론적으로 확장하여 그 성질을 규정짓게 된 것은 [[카를 바이어슈트라스]], [[게오르크 칸토어]], [[리하르트 데데킨트]]와 같은 수학자들의 공이 지대하였다.<!--
 
== 정의 ==
실수 <math>(\R, +, \cdot, <)</math>는 [[공리계|공리적]]으로 기술하거나, 유리수 등으로부터 [[구성주의 (수학)|구성]]하여 정의할 수 있다.
 
=== 공리적 방법 ===
{{본문|실수 공리}}
 
공리적으로, 대개 실수 <math>\R</math>는 다음 조건을 만족하는 수 체계로 기술된다.
 
* <math>\R</math>은 [[체 (수학)|체]]를 이룬다. 즉, 덧셈과 곱셈을 갖추며, 이들은 익숙한 규칙대로 작용한다.
* <math>\R</math>은 [[순서체]]를 이룬다. 즉, [[전순서]]를 갖추며, 이는 아래 성질을 만족한다.
** 만약 <math>x \ge y</math>이면 <math>x + z \ge y + z</math>
** 만약 <math>x \ge 0</math>, <math>y \ge 0</math>이면 <math>xy \ge 0</math>
* 순서는 완비적이다. 즉 공집합이 아니고 상계가 존재하는 임의의 <math>S \subseteq \R</math>에 [[최소상계]]([[상한]])가 존재한다.
 
마지막 성질인 완비성은 실수를 유리수와 구분짓는 성질이다. 이들 공리를 만족하는 수 체계는 [[동형]] 의미 하에 유일하다.
 
=== 구성적 방법 ===
{{본문|실수의 구성}}
 
실수를 이를테면 코시 유리수열에 대한 동치류, 또는 유리수에 대한 데데킨트 절단이라 규정하고, 이에 기초해 덧셈, 곱셈, 순서 구조를 정립하여 실수를 구성할 수 있다.<!--
==정의==
 
==속성 성질 ==
 
-->
==일반화와 확장개념== -->
 
== 같이 보기 ==
* [[실수의 구성허수]]
* [[양수 (수학)|양수복소수]]
* [[음수연분수]]
* [[실해석학]]
 
== 바깥고리 ==
* [http://navercast.naver.com/science/math/{{네이버캐스트|2083 네이버 캐스트 |자연수 VS 실수]}}
 
[[분류:실수| ]]