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자리스키 위상: 두 판 사이의 차이

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[[대수기하학]]에서, '''자리스키 위상'''({{langllang|en|Zariski topology}})은 [[대수다양체]]나 [[스킴 (수학)|스킴]]에 일반적으로 주어지는 [[위상 공간 (수학)|위상]]이다. 자리스키 위상에서는 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다.
 
== 정의 ==
=== 아핀 대수다양체 ===
<math>\mathbb{ A}^n</math>의 자리스키 위상은 다항식의 해집합을 닫힌 집합으로 정의한다. 즉, 자리스키 위상이 주어진 공간 <math>\mathbb{A}^n</math>의 닫힌 집합은 다항식의 집합 <math>S</math>에 대해
:<math>V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}</math>
로 주어지고, 이러한 닫힌 집합들의 모임이 위상을 잘 정의한다는 것을 다음 성질을 확인함으로서 증명할 수 있다.
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*# <math>V(I) \cap V(J)\,=\,V(I + J).</math>
 
<math>\mathbb{ A}^n</math>안의 아핀 대수다양체의 자리스키 위상은 <math>\mathbb{ A}^n</math>에 주어진 자리스키 위상의 [[부분공간 위상]]으로 정의된다.
 
== 아핀= 스킴 ===
(<math>1</math>이 있는) [[가환환]] <math>AR</math>에 대해, <math>\operatorname{\rm Spec} (A)R</math>를 <math>AR</math>의 [[환의 스펙트럼|스펙트럼]](모든 [[소 아이디얼]]들의 집합)이라고 하자.하고, 자리스키 위상은<math>\operatorname{max\,Spec}R</math>를 A의그 [[극대 아이디얼]]의 I에집합이라고 대해하자. 다음[[극대 집합을아이디얼]]은 닫힌[[소 집합으로아이디얼]]이므로 정의한다<math>\operatorname{max\,Spec}R\subseteq\operatorname{Spec}R</math>이다.
:<math>V(I) = \{P \in \operatorname{Spec}\,(A) \mid I \subseteq P\}</math>▼
이것은 아핀 대수다양체에서 자리스키 위상 공간 <math>\mathbb{A}^n</math>의 닫힌 집합 <math>V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}</math>을 조금 수정하여 확장한 것이다.▼
 
자리스키 위상은 <math>\mathfrak R</math>의 [[아이디얼]] <math>\mathfrak a\subseteq R</math>에 대해 다음 집합을 닫힌 집합으로 정의한다.
왜냐면 <math>x \in \mathbb{A}^n</math>, <math>f(x) = 0, \forall f \in S</math>은 <math> f\in M_x, \forall f\in S</math>과 동치 (<math>M_x</math>는 점<math>x \in \mathbb{A}^n</math>에 대응되는 [[극대 아이디얼]]), i.e, <math> S \subseteq M_x</math>. ▼
그래서 :<math>V(S\mathfrak a) = \{M_x\mathfrak p\in \operatorname{\rm MaxSpec} (A) \mid S\mathfrak a \subseteq\mathfrak M_xp\}</math> 으로 바꿔 표현할 수 있다.
▲이것은 아핀 대수다양체에서 자리스키 위상 공간 <math>\mathbb{ A}^n</math>의 닫힌 집합[[닫힌집합]] <math>V(S) = \{x \in \mathbb{A}^n \mid f(x) = 0, \forall f \in S\}</math>을 조금 수정하여 확장한 것이다.
 
▲왜냐면 <math>x \in \mathbb{ A}^n</math>, <math>f(x) = 0, \forall f \in S</math>은 <math> f\in\mathfrak M_xm_x, \forall f\in S</math>과 동치동치이다. (여기서 <math>M_x\mathfrak m_x</math>는 점<math>x \in \mathbb{A}^n</math>에 대응되는 [[극대 아이디얼]])이며, i.e,따라서 <math> S \subseteq\mathfrak M_xm_x</math>이다. )
▲:그래서 <math>V(IS) = \{P\mathfrak m_x \in \operatorname{Spec}max\,(A)Spec} R \mid IS \subseteq P\mathfrak m_x\}</math> 으로 바꿔 표현할 수 있다.
이제 여기서 <math>S</math>를 포함하는 [[극대 아이디얼]] 뿐만이 아닌 <math>S</math>를 포함하는 [[소 아이디얼]]들까지 품는 좀더 큰 집합으로 생각한생각하면, 것이<math>S</math>를 대신 아이디얼 <math>\mathfrak a=(S)</math>로 대체하였을 때
:<math>V(I\mathfrak a) = \{P\mathfrak p\in \operatorname{Spec}\,(A)R \mid I\mathfrak a \subseteq\mathfrak Pp\}</math>
를 얻는다. 이는 [[아핀 스킴]]의 자리스키 위상을 정의한다.
이라고 볼 수 있다. (주. <math>I=(S)</math> ; <math>{\rm Max} (A) \subseteq {\rm Spec} (A)</math>)
 
[[스킴 (수학)|스킴]]은 아핀 스킴을 이어붙여 얻는 [[환 달린 공간]]이므로, 스킴의 자리스키 위상은 아핀 스킴으로 구성된 [[열린 덮개]]로부터 유도된다.
 
=== 그로텐디크 위상 ===
위상 공간 <math>X</math>의 [[열린 덮개]] <math>\{X_i\}_{i\in I}</math>는 <math>\textstyle\bigcup_{i\in I}X_i=X</math>인 [[열린집합]]들의 모임이다.
 
스킴의 경우, 자리스키 [[열린집합]]은 [[열린 부분 스킴]]에 대응된다. [[범주론]]적으로, 이는 [[열린 몰입]]으로 생각할 수 있다. 따라서, 스킴 <math>X</math>의 '''자리스키 덮개'''({{llang|en|Zariski cover}})는 같은 [[공역 (수학)|공역]]을 가진 [[열린 몰입]]의 족 <math>\{\iota_i\colon X_i\to X\}_{i\in I}</math>가운데, 그 [[치역]]들의 합집합이 <math>X</math> 전체인 것이다.
:<math>\bigcup_{i\in I}\iota_i(X_i)=X</math>
 
자리스키 덮개는 스킴의 범주 <math>\operatorname{Sch}</math> 위의 [[그로텐디크 준위상]]을 이루며, <math>\operatorname{Sch}</math> 위에 이 위상을 부여한 [[위치 (수학)|위치]]를 '''자리스키 위치'''({{llang|en|Zariski site}}) <math>\operatorname{Zar}</math>라고 한다.
 
스킴 <math>X</math> 위의 '''큰 자리스키 위치'''({{llang|en|big/gros Zariski site}})는 [[조각 범주]] <math>\operatorname{Zar}/X</math>이다.
스킴 <math>X</math> 위의 '''작은 자리스키 위치'''({{llang|en|small/petit Zariski site}}) <math>\operatorname{zar}/X</math>는 다음과 같다.
* <math>\operatorname{zar}/X</math>의 대상은 <math>X</math>를 공역으로 하는 [[열린 몰입]]이다.
* <math>\operatorname{zar}/X</math>의 사상은 위의 [[열린 몰입]]들과 가환하는 [[스킴 사상]]이다.
* <math>\operatorname{zar}/X</math> 위의 덮개는 자리스키 덮개이다.
 
== 성질 ==
자리스키 위상은 [[유클리드 공간]]의 표준적인 위상과 크게 다른 성질들을 갖는다. 대체로, 자리스키 위상은 매우 거칠다엉성하다. 즉, [[열린 집합열린집합]]과 [[닫힌 집합닫힌집합]]이 충분히 존재하지 못한다.
 
예를 들어, [[대수적으로 닫힌 체]]에 대한 유한 차원 [[아핀 공간]] <math>\mathbb A^n</math>을 생각하자. 이 경우:
* <math>\mathbb A^n</math>의 모든 [[닫힌 집합닫힌집합|닫힌]] 진부분집합은진부분 집합은 (적어도 하나의 다항식을 만족시켜야 하므로) <math>n-1</math> 이하의 차원을 갖는다. 즉, 닫힌 집합들은[[닫힌집합]]들은 매우 "작다".
* 반대로, 닫힌 집합들의[[닫힌집합]]들의 여집합인 열린 집합들은[[열린집합]]들은 매우 "크다". 공집합이 아닌 임의의 두 열린 집합은[[열린집합]]은 항상 교집합을[[교집합]]을 가지며, 공집합이 아닌 모든 [[열린 집합은집합]]은 [[조밀집합조밀 집합]]이다.
 
(고전적 및 스킴) 자리스키 위상은 [[T1 공간|T<sub>1</sub> 위상]]이다. 하지만 유한체가 아닌 체에 대한 대수다양체는 항상 [[하우스도르프 공간]]이 아니다.
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== 참고 문헌 ==
* {{서적 인용 | 이름=Robin|성=Hartshorne| 날짜 = 1977|제목=[[대수기하학 (하츠혼)|Algebraic Geometry]]geometry|저자고리=로빈 하츠혼|고리=|출판사=Springer| isbn = 978-0-387-90244-9|mr=0463157 | zbl = 0367.14001 | 언어=en|doi=10.1007/978-1-4757-3849-0|총서=Graduate Texts in Mathematics|권=52|issn=0072-5285}}
* {{서적 인용|이름=David S.|성=Dummit|공저자이름2=Richard M. |성2=Foote|날짜=2004|제목=Abstract Algebra|판=3판|출판사=Wiley|isbn=978-0-471-43334-7|zbl=1037.00003|언어=en}}
 
== 바깥 고리 ==
* {{eom|title=Zariski topology}}
* {{매스월드|idZariskiTopology|title=Zariski topology}}
* {{nlab|id=Zariski site}}
 
[[분류:대수기하학]]
원본 주소 "https://ko.wikipedia.org/wiki/자리스키_위상"